方企勤 第三章 一元函数积分学 第10题

教材习题

📝 题目

例 10 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,求证:

$$ \left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \sqrt{{\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x} \cdot \sqrt{{\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x}. $$

💡 答案解析

证 对 $\forall t \in \mathbf{R}$ ,积分

$$ {\int }_{a}^{b}{\left\lbrack tf\left( x\right) + g\left( x\right) \right\rbrack }^{2}\mathrm{\;d}x = {t}^{2}{\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x + {2t}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ + {\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \geq 0. $$

根据二次三项式的恒正条件是判别式 ${b}^{2} - {ac} \leq 0$ ,故有

$$ {\left( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2} \leq {\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \cdot {\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x, $$

即得

$$ \left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \sqrt{{\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x} \cdot \sqrt{{\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：构造二次三项式
对任意实数t，考虑积分∫_a^b [t f(x) + g(x)]^2 dx。由于被积函数非负，该积分非负。展开得：t^2 ∫_a^b f^2(x) dx + 2t ∫_a^b f(x)g(x) dx + ∫_a^b g^2(x) dx ≥ 0。
公式：∫_a^b [t f(x) + g(x)]^2 dx = t^2 ∫_a^b f^2(x) dx + 2t ∫_a^b f(x)g(x) dx + ∫_a^b g^2(x) dx ≥ 0
提示：注意展开时交叉项系数为2，且积分号内乘积项为f(x)g(x)。
步骤 2/3
目标：应用判别式条件
将上述关于t的二次三项式视为二次函数，其非负性意味着判别式非正：Δ = (2∫_a^b f(x)g(x) dx)^2 - 4(∫_a^b f^2(x) dx)(∫_a^b g^2(x) dx) ≤ 0。化简得：(∫_a^b f(x)g(x) dx)^2 ≤ (∫_a^b f^2(x) dx)(∫_a^b g^2(x) dx)。
公式：Δ = 4(∫_a^b f(x)g(x) dx)^2 - 4(∫_a^b f^2(x) dx)(∫_a^b g^2(x) dx) ≤ 0
提示：判别式公式：对于二次项At^2+Bt+C≥0，判别式Δ=B^2-4AC≤0。
步骤 3/3
目标：取平方根得到柯西-施瓦茨不等式
对不等式两边取平方根，注意绝对值：|∫_a^b f(x)g(x) dx| ≤ √(∫_a^b f^2(x) dx) √(∫_a^b g^2(x) dx)。
公式：|∫_a^b f(x)g(x) dx| ≤ √(∫_a^b f^2(x) dx) √(∫_a^b g^2(x) dx)
提示：平方根后左边需加绝对值，右边为正。

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