方企勤 第三章 一元函数积分学 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 求积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{a}\arctan \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}\mathrm{\;d}x\left( {a > 0}\right)$ .

💡 答案解析

解法 1 用分部积分法. 记 $w\left( t\right) = \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}$ ,则有 $w\left( a\right) = 0$ ,

原式 $= {\left. x\arctan w\left( x\right) \right| }_{0}^{a} - {\int }_{0}^{a}x \cdot \frac{1}{1 + {w}^{2}} \cdot \frac{1}{2w} \cdot \frac{-{2a}}{{\left( a + x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x$

$$ = {\int }_{0}^{a}\frac{x}{2\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x = - \frac{1}{4}{\int }_{0}^{a}\frac{\mathrm{d}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) }{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}} $$

$$ = - {\left. \frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\right| }_{0}^{a} = \frac{a}{2}. $$

解法 2 令 $x = a\cos t\left( {0 \leq t \leq \frac{\pi }{2}}\right)$ ,则

$$ \text{ 原式 } = a{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}\frac{t}{2}\mathrm{\;d}\cos t = {\left. a \cdot \frac{t}{2}\cos t\right| }_{\frac{\pi }{2}}^{0} - {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}\frac{a}{2}\cos t\mathrm{\;d}t $$

$$ = - {\left. \frac{a}{2}\sin t\right| }_{\frac{\pi }{2}}^{0} = \frac{a}{2}. $$

解法 3 令 $t = \arctan \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}$ ,则

$$ \cos {2t} = \frac{1 - {\tan }^{2}t}{1 + {\tan }^{2}t} = \frac{1 - \frac{a - x}{a + x}}{1 + \frac{a - x}{a + x}} = \frac{x}{a}, $$

$$ \text{ 原式 } = {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}t\mathrm{\;d}\left( {a\cos {2t}}\right) = {\left. at\cos 2t\right| }_{\frac{\pi }{4}}^{0} + a{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}\cos {2t}\mathrm{\;d}t $$

$$ = {\left. \frac{a}{2}\sin 2t\right| }_{0}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{a}{2}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：使用分部积分法求解积分
记 w(x) = sqrt((a-x)/(a+x))，则 w(a)=0。原积分 = [x arctan w(x)]_0^a - ∫_0^a x * 1/(1+w^2) * 1/(2w) * (-2a)/(a+x)^2 dx = ∫_0^a x/(2 sqrt(a^2-x^2)) dx = -1/4 ∫_0^a d(a^2-x^2)/sqrt(a^2-x^2) = -1/2 [sqrt(a^2-x^2)]_0^a = a/2。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du；导数：d/dx arctan u = u'/(1+u^2)
提示：注意 w(x) 的导数计算，以及化简过程中利用 a^2-x^2 的微分形式。
步骤 2/3
目标：使用三角换元法求解积分
令 x = a cos t，t ∈ [0, π/2]，则 dx = -a sin t dt，且 arctan sqrt((a-x)/(a+x)) = arctan sqrt((1-cos t)/(1+cos t)) = arctan(tan(t/2)) = t/2。原积分 = ∫_{π/2}^0 (t/2) * (-a sin t dt) = a ∫_0^{π/2} (t/2) sin t dt = a/2 ∫_0^{π/2} t sin t dt。再用分部积分：a/2 [ -t cos t]_0^{π/2} + a/2 ∫_0^{π/2} cos t dt = a/2 [sin t]_0^{π/2} = a/2。
公式：三角恒等式：arctan sqrt((1-cos t)/(1+cos t)) = t/2；分部积分
提示：注意换元后积分限的变化，以及三角函数的化简。
步骤 3/3
目标：使用另一种三角换元法求解积分
令 t = arctan sqrt((a-x)/(a+x))，则 tan t = sqrt((a-x)/(a+x))，cos 2t = (1-tan^2 t)/(1+tan^2 t) = x/a，所以 x = a cos 2t。当 x=0 时，t=π/4；当 x=a 时，t=0。原积分 = ∫_{π/4}^0 t d(a cos 2t) = [a t cos 2t]_{π/4}^0 + a ∫_0^{π/4} cos 2t dt = a/2 [sin 2t]_0^{π/4} = a/2。
公式：三角恒等式：cos 2t = (1-tan^2 t)/(1+tan^2 t)；分部积分
提示：注意换元后积分限的变化，以及 cos 2t 的积分。

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