方企勤 第三章 一元函数积分学 第16题

教材习题

📝 题目

例 16 设 $f\left( x\right) \geq 0$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,且单调下降, $0 < \alpha < \beta < 1$ . 求证:

$$ {\int }_{0}^{\alpha }f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{\alpha }{\beta }{\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x. \tag{3.26} $$

💡 答案解析

解 由积分中值定理,存在 $\xi \in \left\lbrack {0,\alpha }\right\rbrack$ ,使得

$$ \frac{1}{\alpha }{\int }_{0}^{\alpha }f\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( \xi \right) , $$

存在 $\eta \in \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ ,使得

$$ \frac{1}{\beta - \alpha }{\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( \eta \right) . $$

注意到 $f\left( x\right)$ 单调下降,因此 $\xi \leq \eta \Rightarrow f\left( \xi \right) \geq f\left( \eta \right)$ ,即

$$ \frac{1}{\alpha }{\int }_{0}^{\alpha }f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{1}{\beta - \alpha }{\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

又因为 $\alpha > 0$ ,所以

$$ {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{\alpha }{\beta - \alpha }{\int }_{a}^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{\alpha }{\beta }{\int }_{a}^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：应用积分中值定理于左端积分
由积分中值定理，存在 ξ ∈ [0, α] 使得 (1/α)∫₀^α f(x)dx = f(ξ)。
公式：∫₀^α f(x)dx = α f(ξ)
提示：注意 f(x) ≥ 0 且连续，满足中值定理条件。
步骤 2/5
目标：应用积分中值定理于右端积分
存在 η ∈ [α, β] 使得 (1/(β-α))∫_α^β f(x)dx = f(η)。
公式：∫_α^β f(x)dx = (β-α) f(η)
提示：区间长度为 β-α。
步骤 3/5
目标：利用单调性比较函数值
由于 f 单调下降，且 ξ ≤ η，故 f(ξ) ≥ f(η)。
公式：f(ξ) ≥ f(η)
提示：ξ ∈ [0,α]，η ∈ [α,β]，所以 ξ ≤ α ≤ η。
步骤 4/5
目标：代入中值等式得到不等式
由 f(ξ) ≥ f(η) 得 (1/α)∫₀^α f(x)dx ≥ (1/(β-α))∫_α^β f(x)dx。
公式：∫₀^α f(x)dx ≥ (α/(β-α))∫_α^β f(x)dx
提示：两边乘以 α 得到。
步骤 5/5
目标：放缩分母得到目标不等式
因为 β > β-α > 0，所以 α/(β-α) ≥ α/β，从而 ∫₀^α f(x)dx ≥ (α/β)∫_α^β f(x)dx。
公式：∫₀^α f(x)dx ≥ (α/β)∫_α^β f(x)dx
提示：注意 α>0，β>α，故 α/(β-α) > α/β。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第15题 返回列表 第17题 →