方企勤 第三章 一元函数积分学 第17题

教材习题

📝 题目

例 17 设 $a > 0,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 上连续,求证:

$$ \left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{a}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x. $$

💡 答案解析

证 根据积分中值定理,存在 $\xi \in \left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ ,使得

$$ \left| {f\left( \xi \right) }\right| = \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x. \tag{3.27} $$

又由牛顿-莱布尼茨公式, 有

$$ f\left( \xi \right) - f\left( 0\right) = {\int }_{0}^{\xi }{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ \Rightarrow \left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \left| {f\left( \xi \right) }\right| + \left| {{\int }_{0}^{\xi }{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| . \tag{3.28} $$

联立 (3.27) 与 (3.28) 式, 解得

$$ \left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \left| {f\left( \xi \right) }\right| + \left| {{\int }_{0}^{\xi }{f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$

$$ \leq \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{a}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：应用积分中值定理得到某点函数值的绝对值与积分平均值的关系
由积分中值定理，存在 ξ ∈ [0, a] 使得 |f(ξ)| = (1/a) ∫_0^a |f(x)| dx。
公式：|f(ξ)| = (1/a) ∫_0^a |f(x)| dx
提示：注意积分中值定理要求被积函数连续，这里|f(x)|连续，因为f'(x)连续，所以f(x)连续，从而|f(x)|连续。
步骤 2/3
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式建立f(0)与f(ξ)的关系
由牛顿-莱布尼茨公式，f(ξ) - f(0) = ∫_0^ξ f'(x) dx，因此 |f(0)| ≤ |f(ξ)| + |∫_0^ξ f'(x) dx|。
公式：|f(0)| ≤ |f(ξ)| + |∫_0^ξ f'(x) dx|
提示：绝对值不等式：|a-b| ≥ |a| - |b| 的变形，这里用 |f(0)| ≤ |f(ξ)| + |f(ξ)-f(0)|。
步骤 3/3
目标：放缩积分项并代入得到最终不等式
由于 |∫_0^ξ f'(x) dx| ≤ ∫_0^ξ |f'(x)| dx ≤ ∫_0^a |f'(x)| dx，结合第一步的表达式，得 |f(0)| ≤ (1/a)∫_0^a |f(x)| dx + ∫_0^a |f'(x)| dx。
公式：|f(0)| ≤ (1/a)∫_0^a |f(x)| dx + ∫_0^a |f'(x)| dx
提示：注意积分上限ξ ≤ a，所以∫_0^ξ |f'(x)| dx ≤ ∫_0^a |f'(x)| dx。

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