方企勤 第四章 级 数 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 将函数 $f\left( x\right) = \arctan \frac{2x}{1 - {x}^{2}}$ 在 $x = 0$ 点展开为幂级数.

💡 答案解析

解法 $1{f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{2}{1 + {x}^{2}} = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{x}^{2n}\left( {\left| x\right| < 1}\right) ,f\left( 0\right) = 0$ , 因此

$$ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{f}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}{\int }_{0}^{x}{t}^{2n}\mathrm{\;d}t $$

$$ = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{2n} + 1}{x}^{{2n} + 1}\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) . $$

解法 2 令 $t = \arctan x$ ,则当 $\left| x\right| < 1$ 时, $\left| t\right| < \pi /4$ ,于是

$$ f\left( x\right) = \arctan \frac{2\tan t}{1 - {\tan }^{2}t} = \arctan \left( {\tan {2t}}\right) $$

$$ = {2t} = 2\arctan x\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) . $$

利用 $\arctan x$ 在 $x = 0$ 点展开的幂级数,即得

$$ f\left( x\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{2n} + 1}{x}^{{2n} + 1}\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：解法1：求导并展开为幂级数
首先求函数f(x)的导数：f'(x) = 2/(1+x^2)。然后利用几何级数公式1/(1+x^2) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n} (|x|<1)，得到f'(x) = 2∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n}。
公式：f'(x) = 2/(1+x^2) = 2∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n}
提示：注意几何级数的收敛域为|x|<1。
步骤 2/4
目标：积分得到f(x)的幂级数
由于f(0)=0，对f'(x)从0到x积分：f(x)=∫_0^x f'(t) dt = 2∑_{n=0}^∞ (-1)^n ∫_0^x t^{2n} dt = 2∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)。
公式：f(x) = 2∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)
提示：逐项积分在收敛域内成立。
步骤 3/4
目标：解法2：三角恒等变形
令t=arctan x，则x=tan t，且|x|<1时|t|<π/4。代入f(x)得：f(x)=arctan(2tan t/(1-tan^2 t)) = arctan(tan 2t) = 2t = 2arctan x。
公式：f(x) = 2arctan x
提示：注意arctan(tan 2t)=2t成立的条件是|2t|<π/2，这里|t|<π/4满足。
步骤 4/4
目标：利用已知展开式
利用arctan x的幂级数展开：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1) (|x|<1)，乘以2即得f(x)=2∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)。
公式：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)
提示：该展开式可通过积分1/(1+x^2)得到。

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