方企勤 第四章 级 数 第6题
📝 题目
例 6 将函数 $f\left( x\right) = \arcsin x$ 在 $x = 0$ 点展开为幂级数,并证明此幂级数在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上一致收敛.
💡 答案解析
解 由
$$ {\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{-1/2} = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{\left( {2n}\right) !!}{x}^{2n}\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) , $$
逐项积分上式, 得
$$ \arcsin x = x + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{\left( {2n}\right) !!} \cdot \frac{{x}^{{2n} + 1}}{{2n} + 1}\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) . $$
因为
$$ {a}_{{2n} + 1} = \frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {2n}\right) !!} > 0,\;{a}_{2n} = 0\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) $$
及 $\arcsin x$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,所以根据定理 3 级数
$$ 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( {{2n} - 1}\right) !!}{\left( {{2n} + 1}\right) \left( {2n}\right) !!} $$
收敛. 再根据定理 3 知幂级数在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上一致收敛.