方企勤 第六章 多元函数积分学 第1题
📝 题目
例 1 设 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k},r = \left| \mathbf{r}\right|$ ,求 $\operatorname{grad}f\left( r\right)$ .
💡 答案解析
解 令 $u = f\left( r\right) ,\frac{\partial u}{\partial x} = {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{x}{r},\frac{\partial u}{\partial y} = {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{y}{r},\frac{\partial u}{\partial z} = {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{z}{r}$ , 所以
$$ \operatorname{grad}f\left( r\right) = {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{r}{r}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确函数形式
设 u = f(r)，其中 r = |r| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，r = x i + y j + z k。
公式：r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
提示：注意 r 是标量，r 是向量。
步骤 2/4
目标：计算偏导数 ∂u/∂x
利用链式法则：∂u/∂x = f'(r) * ∂r/∂x。由于 r = sqrt(x^2+y^2+z^2)，所以 ∂r/∂x = x / r。因此 ∂u/∂x = f'(r) * x / r。
公式：∂r/∂x = x / r
提示：对 r 求导时注意 r 是 x 的函数。
步骤 3/4
目标：计算偏导数 ∂u/∂y 和 ∂u/∂z
类似地，∂u/∂y = f'(r) * y / r，∂u/∂z = f'(r) * z / r。
公式：∂u/∂y = f'(r) * y / r, ∂u/∂z = f'(r) * z / r
提示：对称性可简化计算。
步骤 4/4
目标：写出梯度表达式
梯度 grad f(r) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = f'(r) * (x/r, y/r, z/r) = f'(r) * (r / r)。
公式：grad f(r) = f'(r) * r / r
提示：注意 r / r 是单位向量。
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