方企勤 第六章 多元函数积分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 设 $\mathbf{F} = f\left( r\right) \mathbf{r}$ ( $r$ 与 $\mathbf{r}$ 意义同例 1).

(1)求证: $\operatorname{rot}\mathbf{F} \equiv 0$ ；

(2) $f\left( r\right)$ 是什么函数时, $\operatorname{div}\mathbf{F} \equiv 0$ .

💡 答案解析

解 (1) 令 $P = f\left( r\right) x,Q = f\left( r\right) y,R = f\left( r\right) z$ ,则

$$ \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{yz}{r} - {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{yz}{r} \equiv 0, $$

同理 $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \equiv 0,\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \equiv 0$ . 所以 $\operatorname{rot}\mathbf{F} \equiv 0$ .

(2) $\frac{\partial P}{\partial x} = f\left( r\right) + {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{{x}^{2}}{r},\frac{\partial Q}{\partial y} = f\left( r\right) + {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{{y}^{2}}{r}$ ,

$$ \frac{\partial R}{\partial z} = f\left( r\right) + {f}^{\prime }\left( r\right) \frac{{z}^{2}}{r}. $$

要使

$$ \operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = {3f}\left( r\right) + r{f}^{\prime }\left( r\right) = 0, $$

只要

$$ 3{r}^{2}f\left( r\right) + {r}^{3}{f}^{\prime }\left( r\right) = {\left( {r}^{3}f\left( r\right) \right) }^{\prime } = 0, $$

所以 $f\left( r\right) = \frac{c}{{r}^{3}}$ ( $c$ 为任意常数)时, $\operatorname{div}\mathbf{F} \equiv 0$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明旋度为零
令 P = f(r)x, Q = f(r)y, R = f(r)z，计算旋度的第一个分量 ∂R/∂y - ∂Q/∂z。由于 ∂R/∂y = f'(r) * (y/r) * z + f(r)*0 = f'(r) yz/r，∂Q/∂z = f'(r) * (z/r) * y + f(r)*0 = f'(r) yz/r，两者相减得0。类似可证其他分量也为0。
公式：∂R/∂y - ∂Q/∂z = f'(r) yz/r - f'(r) yz/r = 0
提示：注意 r = sqrt(x^2+y^2+z^2)，因此 ∂r/∂x = x/r 等。
步骤 2/2
目标：求散度为零的条件
计算散度：∂P/∂x = f(r) + f'(r) x^2/r，∂Q/∂y = f(r) + f'(r) y^2/r，∂R/∂z = f(r) + f'(r) z^2/r。求和得 div F = 3f(r) + f'(r)(x^2+y^2+z^2)/r = 3f(r) + r f'(r)。令其为零得微分方程 3f(r) + r f'(r) = 0。两边乘以 r^2 得 3r^2 f(r) + r^3 f'(r) = (r^3 f(r))' = 0，积分得 r^3 f(r) = c，故 f(r) = c/r^3。
公式：div F = 3f(r) + r f'(r) = 0 ⇒ (r^3 f(r))' = 0 ⇒ f(r) = c/r^3
提示：将方程乘以 r^2 是为了凑出 r^3 f(r) 的导数。

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