方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.8 (1) 求证: 序列 $\displaystyle{\left\{ \frac{\ln n}{n}\right\} }_{n = 3}^{\infty }}$ 为一递减序列;
(2) 求序列 $\left\{ \sqrt[n]{n}\right\}$ 的最大项.
💡 答案解析
2.3.8 (2) $\sqrt[3]{3}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明序列 {ln n / n} 从 n=3 开始递减
考虑函数 f(x) = ln x / x 在 x ≥ 3 上的单调性。求导得 f'(x) = (1 - ln x) / x^2。当 x > e 时，ln x > 1，故 f'(x) < 0，因此 f(x) 在 (e, +∞) 上递减。由于 n ≥ 3 > e，所以序列 {ln n / n} 从 n=3 开始递减。
公式：f'(x) = (1 - ln x) / x^2
提示：利用导数判断函数单调性，注意定义域。
步骤 2/2
目标：求序列 {n^(1/n)} 的最大项
考虑函数 g(x) = x^(1/x) = e^(ln x / x)，其单调性与 ln x / x 相同。由(1)知，ln x / x 在 x > e 时递减，在 x < e 时递增。因此 g(x) 在 x = e 处取得最大值。由于 n 为正整数，比较 n=2 和 n=3：2^(1/2) ≈ 1.414，3^(1/3) ≈ 1.442，所以最大项为 3^(1/3)。
公式：g(x) = e^(ln x / x)
提示：利用指数函数单调性，将问题转化为求 ln x / x 的最大值点。
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