方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2. 3.9 假设 $f\left( x\right) = 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2!} + \cdots + \frac{{x}^{2n}}{\left( {2n}\right) !}$ . 求证: $f\left( x\right)$ 在实轴上有正的最小值.
💡 答案解析
2.3.9 利用 $f\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) + \frac{{x}^{2n}}{\left( {2n}\right) !}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：推导f(x)与f'(x)的关系
对f(x)求导，得到f'(x)=1+x+...+x^{2n-1}/(2n-1)!，注意到f(x)=f'(x)+x^{2n}/(2n)!。
公式：f(x)=f'(x)+\frac{x^{2n}}{(2n)!}
提示：逐项求导后，对比f(x)的表达式，发现f(x)比f'(x)多最后一项。
步骤 2/3
目标：证明f(x)在实数范围内有最小值
由于f(x)是偶次多项式，当|x|→∞时，f(x)→+∞，因此f(x)有下界且能取到最小值。考虑f'(x)=0的点，由关系式知此时f(x)=x^{2n}/(2n)!≥0，且等号仅在x=0时成立，但f(0)=1>0，所以最小值大于0。
公式：f(x)≥0，且最小值点处f(x)=x^{2n}/(2n)!>0
提示：利用极值点处导数为0，结合关系式得到函数值非负。
步骤 3/3
目标：说明最小值是正的
因为f(0)=1>0，且f(x)在实数范围内连续，当x≠0时f(x)>0，所以最小值是正数。
提示：最小值点可能不止一个，但函数值都为正。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。