方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.14 给定曲线 $y = \frac{1}{{x}^{2}}$ .
(1)求曲线上横坐标为 ${x}_{0}$ 的点处的切线方程；
(2)在曲线上求一个点, 使曲线在该点处的切线被坐标轴所截的长度最短.
💡 答案解析
2.3.14 (1) $y - \frac{1}{{x}_{0}^{2}} = - \frac{2}{{x}_{0}^{3}}\left( {x - {x}_{0}}\right)$ ; (2) ${x}_{0} = \pm \sqrt{2}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求切线方程
对函数 y = 1/x^2 求导，得 y' = -2/x^3。在 x0 处，导数值为 -2/x0^3，即为切线斜率。切线过点 (x0, 1/x0^2)，由点斜式得切线方程：y - 1/x0^2 = -2/x0^3 (x - x0)。
公式：y' = -2/x^3; 点斜式：y - y0 = k(x - x0)
提示：注意求导正确，点斜式代入准确。
步骤 2/4
目标：求切线在坐标轴上的截距
将切线方程化为截距式。由 y - 1/x0^2 = -2/x0^3 (x - x0)，整理得 y = -2x/x0^3 + 3/x0^2。令 x=0 得 y 截距 b = 3/x0^2；令 y=0 得 x 截距 a = 3x0/2。
公式：截距：a = 3x0/2, b = 3/x0^2
提示：注意符号，截距为正值。
步骤 3/4
目标：建立截距长度表达式
切线被坐标轴截得的线段长度 L 为直角三角形斜边，L = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt((3x0/2)^2 + (3/x0^2)^2) = 3 sqrt(x0^2/4 + 1/x0^4)。
公式：L = 3 sqrt(x0^2/4 + 1/x0^4)
提示：长度公式正确。
步骤 4/4
目标：求长度最小值对应的 x0
令 f(x0) = x0^2/4 + 1/x0^4，求导 f'(x0) = x0/2 - 4/x0^5 = 0，解得 x0^6 = 8，即 x0 = ±√2。代入验证得最小值。
公式：f'(x0) = x0/2 - 4/x0^5 = 0
提示：注意 x0 不为零，求导正确。
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