方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.15 作一个无盖的圆柱形茶缸,若体积 $V$ 一定,问底半径 $R$ 与高 $H$ 成何比例时, 使总面积最小 (即用料最省)?
💡 答案解析
2.3.15 当 $R = H$ 时取到最小值 $3\sqrt[3]{\pi {V}^{2}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立目标函数
设无盖圆柱形茶缸的底半径为R，高为H，体积V固定。总面积S为底面积加上侧面积，即S = πR^2 + 2πRH。由体积公式V = πR^2H，得H = V/(πR^2)，代入S得S = πR^2 + 2πR * V/(πR^2) = πR^2 + 2V/R。
公式：S = πR^2 + 2V/R
提示：注意无盖，所以只有底面积和侧面积。
步骤 2/3
目标：求导找极值点
对S关于R求导：dS/dR = 2πR - 2V/R^2。令导数为0：2πR - 2V/R^2 = 0，得πR^3 = V，即R = (V/π)^(1/3)。
公式：dS/dR = 2πR - 2V/R^2 = 0 ⇒ R = (V/π)^(1/3)
提示：注意定义域R>0。
步骤 3/3
目标：求对应H并验证最值
由H = V/(πR^2)代入R = (V/π)^(1/3)，得H = V/(π (V/π)^(2/3)) = (V/π)^(1/3) = R。因此R = H。此时总面积S = πR^2 + 2πR^2 = 3πR^2 = 3π (V/π)^(2/3) = 3 (πV^2)^(1/3)。由于二阶导数d²S/dR² = 2π + 4V/R^3 > 0，故为极小值。
公式：H = R, S_min = 3√[3]{πV^2}
提示：验证二阶导数或实际意义确定最小值。
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