方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.5题
📝 题目
2. 5.1 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上可导,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left\lbrack {f\left( x\right) + x{f}^{\prime }\left( x\right) }\right\rbrack = l$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l $$
💡 答案解析
2.5.1 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) \overset{\text{ 写成 }}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{x}f\left( x\right) }{{\mathrm{e}}^{x}}\overset{\text{ 洛必达法则 }}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\left( {\mathrm{e}}^{x}f\left( x\right) \right) }^{\prime }}{{\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime }}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限转化为适合洛必达法则的形式
将 f(x) 写成 (e^x f(x)) / e^x，因为当 x→+∞ 时，分母 e^x → +∞，且分子 e^x f(x) 的极限存在（由条件可推知），满足洛必达法则条件。
公式：f(x) = \frac{e^x f(x)}{e^x}
提示：注意验证洛必达法则的条件：分子分母趋于无穷大，且导数之比极限存在。
步骤 2/4
目标：应用洛必达法则
对分子分母分别求导：分子 (e^x f(x))' = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x (f(x) + f'(x))，分母 (e^x)' = e^x。因此极限化为 lim_{x→+∞} [e^x (f(x)+f'(x))] / e^x = lim_{x→+∞} (f(x) + f'(x))。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{(e^x f(x))'}{(e^x)'} = \lim_{x\to +\infty} (f(x) + f'(x))
提示：洛必达法则要求导数存在且分母导数不为零，此处满足。
步骤 3/4
目标：利用已知条件得到结果
由题目条件，lim_{x→+∞} [f(x) + x f'(x)] = l，但这里得到的是 f(x) + f'(x)，注意区别。实际上，我们需要的是 f(x) + x f'(x)，而这里只有 f(x) + f'(x)。因此需要重新审视：原题条件中 x 乘以 f'(x)，而洛必达后得到的是 f(x) + f'(x)，缺少因子 x。所以上述步骤有误。正确做法是考虑 g(x)=e^x f(x) 的导数？实际上，更合适的变换是考虑 h(x)=e^{x} f(x) 的导数？但条件中有 x f'(x)，所以应该考虑 e^{x} f(x) 的导数？不，正确的思路是：令 F(x)=e^{x} f(x)，则 F'(x)=e^x (f(x)+f'(x))，与条件不符。因此需要另一种方法：考虑极限 lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (e^{x} f(x))/e^x 后，分子求导得 e^x (f(x)+f'(x))，分母求导得 e^x，比值是 f(x)+f'(x)，不是 f(x)+x f'(x)。所以原答案可能有误？实际上，题目条件中有 x f'(x)，而这里出现的是 f'(x)，所以不能直接洛必达。正确解法应该是：考虑极限 lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (x f(x))/x，然后对分子分母分别求导？分子 (x f(x))' = f(x) + x f'(x)，分母 x'=1，所以极限为 lim (f(x)+x f'(x)) = l。这样更合理。因此，正确步骤应为：将 f(x) 写成 (x f(x))/x，然后应用洛必达法则。
公式：f(x) = \frac{x f(x)}{x}
提示：注意分子分母同时趋于无穷大，满足洛必达条件。
步骤 4/4
目标：应用洛必达法则于 (x f(x))/x
分子 (x f(x))' = f(x) + x f'(x)，分母 x' = 1，所以极限为 lim_{x→+∞} (f(x) + x f'(x)) = l。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{x f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{(x f(x))'}{x'} = \lim_{x\to +\infty} (f(x) + x f'(x)) = l
提示：洛必达法则使用条件：分子分母趋于无穷大，且导数之比极限存在。
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