方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.5题
📝 题目
2.5.2 设函数 $f\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上具有三阶连续导数,且
$$ f\left( {-1}\right) = 0,\;f\left( 1\right) = 1,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) =
💡 答案解析
2.5.2 用待定系数法,构造函数
$$ P\left( x\right) = \frac{{x}^{3}}{2} + \left( {\frac{1}{2} - f\left( 0\right) }\right) {x}^{2} + f\left( 0\right) . $$
并考虑辅助函数 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - P\left( x\right)$ ,显然 $F\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上具有连续的三阶导数, 且
$$ F\left( {-1}\right) = F\left( 1\right) = F\left( 0\right) = {F}^{\prime }\left( 0\right) =
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造多项式P(x)和辅助函数F(x)
设P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，利用条件P(-1)=0, P(1)=1, P(0)=f(0), P'(0)=f'(0)=0，解得a=1/2, b=1/2 - f(0), c=0, d=f(0)。故P(x)=x^3/2 + (1/2 - f(0))x^2 + f(0)。令F(x)=f(x)-P(x)，则F(x)在[-1,1]上三阶连续可导，且F(-1)=F(1)=F(0)=F'(0)=0。
公式：P(x) = \frac{x^3}{2} + \left(\frac{1}{2} - f(0)\right)x^2 + f(0)
提示：注意利用已知条件确定多项式系数，特别是f'(0)=0。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理寻找F'(x)的零点
由F(-1)=F(0)=0，存在ξ1∈(-1,0)使F'(ξ1)=0；由F(0)=F(1)=0，存在ξ2∈(0,1)使F'(ξ2)=0。又F'(0)=0，故F'(x)在[-1,1]上有三个零点：ξ1,0,ξ2。
提示：罗尔定理：若函数在区间端点值相等，则内部存在导数为零的点。
步骤 3/5
目标：再次应用罗尔定理寻找F''(x)的零点
F'(x)在[ξ1,0]和[0,ξ2]上满足罗尔定理条件，存在η1∈(ξ1,0)和η2∈(0,ξ2)使F''(η1)=F''(η2)=0。
提示：对导函数再次使用罗尔定理。
步骤 4/5
目标：第三次应用罗尔定理得到F'''(ξ)=0
F''(x)在[η1,η2]上满足罗尔定理条件，存在ξ∈(η1,η2)⊂(-1,1)使F'''(ξ)=0。
提示：连续使用罗尔定理三次。
步骤 5/5
目标：计算F'''(x)并得出结论
F'''(x)=f'''(x)-P'''(x)=f'''(x)-3，由F'''(ξ)=0得f'''(ξ)=3。
公式：P'''(x)=3
提示：P(x)的三阶导数为常数3。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。