方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3. 3.1 设 $f\left( x\right) = {2x}\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\left( {x \neq 0}\right) ;f\left( 0\right) = 0$ .
(1) 问 $f\left( x\right)$ 是否在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积?
(2)问变上限积分 $\displaystyle{\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ 在点 $x = 0$ 处是否可导？
💡 答案解析
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断f(x)在[-1,1]上的可积性
f(x)在x≠0时由初等函数构成，在x=0处有定义且f(0)=0。f(x)在[-1,1]上有界，且唯一可能的不连续点是x=0。由于有界函数在闭区间上只有有限个不连续点时可积，因此f(x)在[-1,1]上可积。
提示：注意可积的充分条件：有界且只有有限个间断点。
步骤 2/2
目标：求变上限积分函数并判断在x=0处的可导性
令F(x)=∫_{-1}^{x} f(t)dt。由微积分基本定理，若f在[-1,1]上可积，则F连续。但f在x=0处不连续，需直接计算F(x)的表达式。通过分部积分或观察，可求得F(x)=x^2 sin(1/x) + sin(1) - 1（当x≠0），且F(0)=∫_{-1}^{0} f(t)dt = -1 + sin(1)。然后计算导数定义：lim_{x→0} (F(x)-F(0))/x = lim_{x→0} (x^2 sin(1/x) + sin(1) - 1 - (-1+sin(1)))/x = lim_{x→0} x sin(1/x) = 0。因此F'(0)=0，即变上限积分在x=0处可导。
公式：F(x)=x^2 sin(1/x) + sin(1) - 1 (x≠0); F(0)=-1+sin(1); F'(0)=lim_{x→0} x sin(1/x)=0
提示：注意变上限积分函数不一定在间断点处不可导，需具体计算。
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