方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
💡 答案解析
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明函数在区间上可积
由于f(x)在[-1,1]上有界，且只有一个不连续点x=0，根据黎曼可积的充分条件，有界且只有有限个不连续点的函数在闭区间上可积，因此f(x)在[-1,1]上可积。
提示：注意有界性和不连续点个数是判断可积性的关键。
步骤 2/2
目标：应用微积分基本定理计算积分
由微积分基本定理，若f在[a,b]上可积，F(x)=∫_a^x f(t)dt在f的连续点处可导且F'(x)=f(x)。这里已知∫_{-1}^x f(t)dt = x^2 sin(1/x) + sin(1)（注意常数项由x=-1确定），但题目中答案不完整，需要补充。实际上，由F(x)=x^2 sin(1/x) + C，代入x=-1得F(-1)=0，解得C=sin(1)，所以F(x)=x^2 sin(1/x) + sin(1)。
公式：∫_{-1}^x f(t)dt = x^2 sin(1/x) + sin(1)
提示：注意常数项由积分下限确定。
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