方企勤 第四章 级 数 第4.2题
📝 题目
4.2.4 讨论下列级数在所示区间上的一致收敛性:
(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n + \sin x}\;\left( {\left| x\right| < + \infty }\right)$ ;
(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{\sin {nx}}{n}\;\left( {-\pi + \delta \leq x \leq \pi - \delta ,\delta > 0}\right)$ ；
(3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{a + n}{x}^{n + a}\;\left( {0 < a < 1,0 \leq x \leq 1}\right)$ ；
(4) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{\frac{n\left( {n - 1}\right) }{2}}}{\sqrt{{x}^{2} + {n}^{2}}}\left( {\left| x\right| < + \infty }\right)$ .
💡 答案解析
4.2.4 (1) 一致收敛; (2)一致收敛； (3) 一致收敛; (4) 一致收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断级数(1)的一致收敛性
考虑级数 ∑_{n=2}^∞ (-1)^n/(n+sin x)，|x|<∞。由于 sin x 有界，通项绝对值 1/(n+sin x) 关于 n 单调递减趋于 0，且与 x 无关。由莱布尼茨判别法，级数在 R 上一致收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 a_n(x) 单调递减趋于 0，则交错级数一致收敛。
提示：注意单调性不依赖于 x。
步骤 2/4
目标：判断级数(2)的一致收敛性
考虑级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n sin(nx)/n，x∈[-π+δ, π-δ]，δ>0。由于 sin(nx) 在区间上一致有界，且 1/n 单调递减趋于 0，由狄利克雷判别法，级数一致收敛。
公式：狄利克雷判别法：部分和一致有界，通项单调趋于 0。
提示：sin(nx) 的部分和 |∑_{k=1}^n sin(kx)| ≤ 1/|sin(x/2)|，在区间上有界。
步骤 3/4
目标：判断级数(3)的一致收敛性
考虑级数 ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{n+a}/(a+n)，x∈[0,1]，0
公式：莱布尼茨判别法。
提示：注意 x^{n+a} ≤ 1，分母 a+n 递增。
步骤 4/4
目标：判断级数(4)的一致收敛性
考虑级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n(n-1)/2} / √(x^2+n^2)，|x|<∞。通项绝对值 1/√(x^2+n^2) ≤ 1/n，且关于 n 单调递减趋于 0。由莱布尼茨判别法，级数在 R 上一致收敛。
公式：莱布尼茨判别法。
提示：(-1)^{n(n-1)/2} 是周期为 4 的交错符号，不影响判别。
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