方企勤 第四章 级 数 第4.2题
📝 题目
4.2.5 设 ${u}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续而且非负, $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }u\left( x\right)$ 收敛,且和函数 $S\left( x\right)$ $= \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,求证: $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛.
💡 答案解析
4.2.5 用反证法. 令
$$ {r}_{n}\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }S\left( x\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{u}_{k}\left( x\right) . $$
假设 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 不一致收敛,则 $\exists {\varepsilon }_{0} > 0$ 及序列 ${x}_{{n}_{k}} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = {x}_{0}}$ , ${r}_{{n}_{k}}\left( {x}_{{n}_{k}}\right) \geq {\varepsilon }_{0}$ . 这样,由单调性,对 $\forall m \in N$ ,当 ${n}_{k} \geq m$ 时,
$$ {r}_{m}\left( {x}_{{n}_{k}}\right) \geq {r}_{{n}_{k}}\left( {x}_{{n}_{k}}\right) \geq {\varepsilon }_{0}, $$
再由连续性推出 ${r}_{m}\left( {x}_{0}\right) \geq {\varepsilon }_{0}$ ,这与 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( {x}_{0}\right)$ 收敛矛盾.