方企勤 第四章 级 数 第4.2题
📝 题目
4.2.6 求证: 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{x}^{n}{\sin }^{2}{\pi x}}$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上一致收敛.
💡 答案解析
4.2.6 利用上一题或利用一致收敛级数乘一有界函数仍一致收敛.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析级数通项的有界性
考虑级数 ∑_{n=0}^∞ x^n sin^2(πx)。由于 |sin^2(πx)| ≤ 1，所以 |x^n sin^2(πx)| ≤ x^n。
公式：|x^n sin^2(πx)| ≤ x^n
提示：注意 sin^2(πx) 在 [0,1] 上有界，最大值为1。
步骤 2/5
目标：利用比较判别法或已知结论
级数 ∑_{n=0}^∞ x^n 在 [0,1] 上一致收敛吗？实际上，对于 x∈[0,1]，∑_{n=0}^∞ x^n = 1/(1-x)，但 x=1 时发散。然而，我们可以考虑在 [0,1] 上，x^n ≤ 1，但一致收敛性需要更精细的分析。另一种思路：利用上一题结论或一致收敛级数乘有界函数仍一致收敛。
公式：∑_{n=0}^∞ x^n = 1/(1-x), |x|<1
提示：注意 x=1 时级数发散，但题目区间包含1，需小心处理。
步骤 3/5
目标：应用一致收敛的M判别法
由于 |x^n sin^2(πx)| ≤ x^n，而 x^n 在 [0,1] 上，当 x∈[0,1) 时，x^n 递减趋于0，但 x=1 时 x^n=1。实际上，我们需要一个与x无关的优级数。注意到对于 x∈[0,1]，有 x^n ≤ 1，但 ∑ 1 发散。因此不能直接使用M判别法。正确做法：利用上一题结论，或者考虑级数在 [0,1] 上内闭一致收敛，但端点需单独处理。
公式：M判别法：若 |u_n(x)| ≤ M_n 且 ∑ M_n 收敛，则 ∑ u_n(x) 一致收敛。
提示：这里 M_n 必须是与x无关的常数。
步骤 4/5
目标：利用已知结论：一致收敛级数乘有界函数仍一致收敛
考虑级数 ∑_{n=0}^∞ x^n 在 [0,1] 上不一致收敛（因为 x=1 时发散），但乘以 sin^2(πx) 后，由于 sin^2(πx) 在 x=1 处为0，可能改善收敛性。实际上，sin^2(πx) 在 x=1 处为0，且 x^n sin^2(πx) 在 x=1 处为0，因此级数在 x=1 处收敛到0。可以证明级数在 [0,1] 上一致收敛。
公式：sin^2(πx) 在 x=1 处为0
提示：注意有界函数乘一致收敛级数不一定一致收敛，但若级数一致收敛且有界函数，则乘积一致收敛。这里级数本身不一致收敛，所以不能直接套用。
步骤 5/5
目标：直接证明一致收敛性
对于任意 ε>0，存在 N，使得当 n>N 时，对任意 x∈[0,1]，有 |∑_{k=n}^∞ x^k sin^2(πx)| < ε。由于 sin^2(πx) 在 x=0 和 x=1 处为0，且 x^n 在 [0,1) 上递减，可以分段讨论。或者利用 Dini 定理：级数各项非负连续，和函数连续，则一致收敛。但需验证和函数连续。
公式：Dini定理：若连续函数列单调收敛于连续函数，则一致收敛。
提示：这里部分和 S_n(x)=∑_{k=0}^n x^k sin^2(πx) 连续，且单调递增，极限函数 S(x)=sin^2(πx)/(1-x) (x<1)，S(1)=0，但 S(x) 在 x=1 处不连续？实际上，lim_{x→1-} S(x)=0，所以 S(x) 连续。因此由Dini定理，一致收敛。
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