方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.6 设 $A,B$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的有界集. 证明:
(1) $\partial \left( {A \cup B}\right) \subset \partial A \cup \partial B$ ； (2) $\partial \left( {A \cap B}\right) \subset \partial A \cup \partial B$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明 ∂(A∪B) ⊂ ∂A ∪ ∂B
任取 x ∈ ∂(A∪B)，则 x 是 A∪B 的边界点，即 x 的任意邻域既包含 A∪B 中的点，也包含 A∪B 外的点。若 x ∈ ∂A，则结论成立。若 x ∉ ∂A，则 x 不是 A 的边界点，即存在 x 的邻域 U 使得 U 完全包含于 A 或完全不含 A 的点。由于 x 是 A∪B 的边界点，U 必须同时包含 A∪B 中的点和外点。若 U ⊂ A，则 U 中无 A∪B 外的点，矛盾；若 U ∩ A = ∅，则 U 中无 A∪B 内的点，矛盾。因此 x 必为 B 的边界点，即 x ∈ ∂B。故 ∂(A∪B) ⊂ ∂A ∪ ∂B。
公式：边界点定义：x ∈ ∂S ⇔ ∀ε>0, B(x,ε)∩S ≠ ∅ 且 B(x,ε)∩(R^m\S) ≠ ∅
提示：考虑反证法，假设 x 不属于 ∂A 也不属于 ∂B，导出矛盾。
步骤 2/2
目标：证明 ∂(A∩B) ⊂ ∂A ∪ ∂B
任取 x ∈ ∂(A∩B)，则 x 的任意邻域既包含 A∩B 中的点，也包含 A∩B 外的点。若 x ∈ ∂A，则结论成立。若 x ∉ ∂A，则存在 x 的邻域 U 使得 U 完全包含于 A 或完全不含 A 的点。由于 x 是 A∩B 的边界点，U 必须同时包含 A∩B 中的点和外点。若 U ⊂ A，则 U 中 A∩B 外的点必不在 B 中，即 U 包含 B 外的点，但 U 中也有 A∩B 的点，这些点在 B 中，故 U 既含 B 中点也含 B 外点，所以 x ∈ ∂B。若 U ∩ A = ∅，则 U 中无 A∩B 的点，矛盾。因此 x ∈ ∂B。故 ∂(A∩B) ⊂ ∂A ∪ ∂B。
公式：边界点定义
提示：类似第一问，利用反证法，注意分析邻域与集合的关系。
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