方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.7 设 $A,B$ 是 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中不相交的闭集,求证: 存在开集 $W$ 和 $V$ ,满足 $A \subset$ $W,B \subset V$ ,而 $W \cap V = \varnothing$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：构造辅助函数
定义函数 f(x) = d(x, A) - d(x, B)，其中 d(x, A) = inf{||x - a|| : a ∈ A} 表示点 x 到集合 A 的距离。由于 A 和 B 是闭集且不相交，f(x) 在 A 上大于0，在 B 上小于0。
公式：f(x) = d(x, A) - d(x, B)
提示：距离函数是连续的，因此 f 连续。
步骤 2/2
目标：利用连续函数分离闭集
考虑开集 W = {x : f(x) > 0} 和 V = {x : f(x) < 0}。由于 f 连续，W 和 V 是开集。显然 A ⊆ W（因为对任意 a ∈ A，d(a, A)=0，d(a, B)>0，故 f(a)>0），同理 B ⊆ V。且 W ∩ V = ∅。
提示：注意 f(x)=0 的点被排除，确保不相交。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。