方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.8 设 $E \subset {\mathbf{R}}^{m}$ ,证明: $E = \{ x \mid \rho \left( {x,E}\right) = 0\}$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明 E ⊆ {x | ρ(x,E)=0}
对任意 x ∈ E，由距离定义，ρ(x,E)=inf_{y∈E} d(x,y)。由于 x∈E，取 y=x，则 d(x,x)=0，故 ρ(x,E)=0。因此 x∈{x | ρ(x,E)=0}。
公式：ρ(x,E)=inf_{y∈E} d(x,y)
提示：注意当 x∈E 时，距离可以达到0。
步骤 2/2
目标：证明 {x | ρ(x,E)=0} ⊆ E
设 x 满足 ρ(x,E)=0，则存在点列 {y_n}⊆E 使得 d(x,y_n)→0。由于 E 是闭集（题目未明确，但通常假设 E 是闭集？实际上此处需注意：原题未说明 E 是闭集，但结论要求 E 是闭集？仔细看：题目是“设 E⊂R^m，证明 E={x|ρ(x,E)=0}”。这个等式成立当且仅当 E 是闭集。因为对于任意集合，{x|ρ(x,E)=0} 是 E 的闭包。所以原题可能隐含 E 是闭集？或者需要证明的是 E 的闭包等于该集合？但题目直接写 E=...，所以通常认为 E 是闭集。因此这里假设 E 是闭集。那么由 y_n→x 且 y_n∈E，E 闭，得 x∈E。
公式：ρ(x,E)=0 ⇒ ∃{y_n}⊆E, d(x,y_n)→0
提示：需要利用 E 的闭性。若 E 不是闭集，则等式不成立，右边是闭包。
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