方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.2题
📝 题目
5.2.3 设
$$ f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{{x}^{2}y}{{x}^{2} + {y}^{2}}, & {x}^{2} + {y}^{2} \neq 0, \\ 0, & {x}^{2} + {y}^{2} =
💡 答案解析
5.2.3 (2) ${f}_{x}^{\prime }\left( {0,0}\right) = {f}_{y}^{\prime }\left( {0,0}\right) = 0$ ;
(3) ${f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) = \frac{{2x}{y}^{3}}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{2}},{f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}\left( {{x}^{2} - {y}^{2}}\right) }{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{2}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算偏导数 f_x'(0,0) 和 f_y'(0,0)
根据偏导数定义，f_x'(0,0) = lim_{h→0} [f(h,0)-f(0,0)]/h。由于 f(h,0)=0（因为 y=0 时分子为0），f(0,0)=0，所以极限为0。同理，f_y'(0,0)=lim_{k→0} [f(0,k)-f(0,0)]/k=0。
公式：f_x'(0,0) = lim_{h→0} [f(h,0)-f(0,0)]/h = 0
提示：注意在原点处，沿坐标轴方向函数值为0，因此偏导数为0。
步骤 2/3
目标：计算非原点处的偏导数 f_x'(x,y)
当 (x,y)≠(0,0) 时，f(x,y)=x^2 y/(x^2+y^2)。对 x 求偏导，使用商法则：f_x = [ (2x y)(x^2+y^2) - x^2 y * 2x ] / (x^2+y^2)^2 = [2x y (x^2+y^2) - 2x^3 y] / (x^2+y^2)^2 = 2x y (y^2) / (x^2+y^2)^2 = 2x y^3 / (x^2+y^2)^2。
公式：f_x'(x,y) = (2x y^3)/(x^2+y^2)^2
提示：注意化简时分子提取公因式 2xy，并利用 x^2+y^2 - x^2 = y^2。
步骤 3/3
目标：计算非原点处的偏导数 f_y'(x,y)
对 y 求偏导：f_y = [ x^2 * (x^2+y^2) - x^2 y * 2y ] / (x^2+y^2)^2 = [ x^2 (x^2+y^2) - 2x^2 y^2 ] / (x^2+y^2)^2 = x^2 (x^2 - y^2) / (x^2+y^2)^2。
公式：f_y'(x,y) = x^2 (x^2 - y^2) / (x^2+y^2)^2
提示：注意分子化简后得到 x^2(x^2 - y^2)。
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