📝 北京理工大学 2021年强基真题

已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{2} x-x \ln x$ （1）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 时的切线方程； （2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{e}, e\right)$ 上单调递减； （3）若 $\displaystyle f(x)\lt a$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{e}, e\right)$ 上恒成立，求 $\displaystyle a$ 的最小值。

角 $\displaystyle A, B, C$ 为三角形 $\displaystyle A B C$ 的内角，$\displaystyle \vec{m}=(-1, \sqrt{3}) \vec{n}=(\cos A, \sin A), \vec{m} \cdot \vec{n}=1$ （1）求角 $\displaystyle A$ ； （2）$\displaystyle \frac{1+\sin 2 B}{\cos ^{2} B-\sin ^{2} B}=-3$ ，求 $\displaystyle \tan B$ 。 二、工程力学、化学专业（考试时间 40 分钟，共三道题，工程力学专业两道物理，一道数学，化学专业两道化学，一道数学）