2016年考研数学三第10题

原极限表达式为 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^{n} k \sin\frac{k}{n}$。为了将其转化为黎曼和的形式，我们需要将求和项中的因子与 $\frac{1}{n^2}$ 进行合理组合。注意到黎曼和的一般形式为 $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$，其中 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数。因此，我们将原式中的 $\frac{1}{n^2}$ 拆分为 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$，并将其中一个 $\frac{1}{n}$ 与求和项中的 $k$ 结合，得到 $\frac{k}{n}$。具体步骤如下： $$\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \sin\frac{k}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k \sin\frac{k}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin\frac{k}{n}.$$ 此时，求和项中的 $\frac{k}{n}$ 即为黎曼和中的采样点 $x_k = \frac{k}{n}$，而 $\frac{1}{n}$ 是小区间的长度。因此，原极限可以看作函数 $f(x) = x \sin x$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，即 $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin\frac{k}{n} = \int_0^1 x \sin x \, dx.$$ 这样，我们就成功将原极限问题转化为定积分计算问题，为后续步骤奠定了基础。

由第一步得到的黎曼和形式： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \sin\frac{k}{n} $$ 将其改写为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin\frac{k}{n} $$ 令 $x_k = \frac{k}{n}$，则 $\Delta x = \frac{1}{n}$，且当 $n \to \infty$ 时，$x_k$ 在区间 $[0,1]$ 上均匀分布。上式即为函数 $f(x) = x \sin x$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和： $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_0^1 x \sin x \, dx $$ 因此，原极限等于定积分 $\int_0^1 x \sin x \, dx$。

本步骤使用分部积分法计算定积分 $\int_0^1 x \sin x \, dx$。 首先，令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，有： $$ \int_0^1 x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 \cos x \, dx. $$ 接下来分别计算两项： 1. 计算 $\left[ -x \cos x \right]_0^1$： - 当 $x=1$ 时，$-1 \cdot \cos 1 = -\cos 1$； - 当 $x=0$ 时，$-0 \cdot \cos 0 = 0$； - 所以 $\left[ -x \cos x \right]_0^1 = -\cos 1 - 0 = -\cos 1$。 2. 计算 $\int_0^1 \cos x \, dx$： - $\int \cos x \, dx = \sin x$， - 因此 $\int_0^1 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_0^1 = \sin 1 - \sin 0 = \sin 1$。 将两项合并： $$ \int_0^1 x \sin x \, dx = -\cos 1 + \sin 1. $$ 至此，定积分计算完成，结果为 $\sin 1 - \cos 1$。

本步骤为定积分计算的最后一步，需要将上下限代入已求出的原函数并化简得到最终结果。 首先，我们已有分部积分的结果： $$ \int_0^1 x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 \cos x \, dx. $$ 第一步，计算第一项 $\left[ -x \cos x \right]_0^1$。代入上限 $x=1$ 得 $-1 \cdot \cos 1 = -\cos 1$；代入下限 $x=0$ 得 $-0 \cdot \cos 0 = 0$。因此： $$ \left[ -x \cos x \right]_0^1 = (-\cos 1) - 0 = -\cos 1. $$ 第二步，计算第二项 $\int_0^1 \cos x \, dx$。$\cos x$ 的原函数为 $\sin x$，所以： $$ \int_0^1 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_0^1 = \sin 1 - \sin 0 = \sin 1 - 0 = \sin 1. $$ 第三步，将两部分相加得到最终结果： $$ \int_0^1 x \sin x \, dx = -\cos 1 + \sin 1 = \sin 1 - \cos 1. $$ 最终答案验证：由于 $\sin 1$ 和 $\cos 1$ 均为确定数值（$1$ 弧度），结果 $\sin 1 - \cos 1$ 是一个精确值，无需进一步化简。若需要近似值，可计算 $\sin 1 \approx 0.8415$，$\cos 1 \approx 0.5403$，则结果约为 $0.3012$。