2016年考研数学三第9题

当 $x \to 0$ 时，分子为 $\sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1$。根据等价无穷小公式：若 $u \to 0$，则 $\sqrt{1+u}-1 \sim \frac{1}{2}u$。这里 $u = f(x)\sin 2x$，且当 $x \to 0$ 时 $f(x)\sin 2x \to 0$（因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且 $f(0)=0$），因此 $$ \sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1 \sim \frac{1}{2}f(x)\sin 2x. $$ 又因为 $\sin 2x \sim 2x$（当 $x \to 0$），所以 $$ \frac{1}{2}f(x)\sin 2x \sim \frac{1}{2}f(x)\cdot 2x = x f(x). $$ 因此，分子等价于 $x f(x)$，即 $$ \sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1 \sim x f(x) \quad (x \to 0). $$ 这一替换将原极限中的分子简化为 $x f(x)$，为后续步骤（如利用导数定义）做好准备。注意，等价无穷小替换仅在乘除运算中直接使用，此处分子作为整体被替换，符合条件。

在极限计算中，当自变量$x$趋近于0时，我们经常利用等价无穷小替换来简化表达式。本题中，分母含有项$e^{3x}-1$。根据等价无穷小公式：当$x \to 0$时，$e^{u}-1 \sim u$（其中$u$是某个趋于0的表达式）。这里$u = 3x$，且当$x \to 0$时，$3x \to 0$，因此$e^{3x}-1 \sim 3x$。 所以，原极限表达式中的分母$e^{3x}-1$可以替换为$3x$。替换后，原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{e^{3x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{3x}. $$ 注意：等价无穷小替换只适用于乘除因子，不能随意用于加减项。这里分母是一个整体因子，因此替换是合法的。经过这一步，分母由复杂的指数形式简化为简单的线性形式$3x$，为后续使用其他等价无穷小替换（如分子$\ln(1+2x) \sim 2x$）或洛必达法则创造了条件。

将第二步得到的等价关系代入原极限表达式。原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{x f(x)}{3x}$。注意到分子分母中均有 $x$，且 $x \neq 0$（极限过程中 $x$ 趋近于0但不等于0），因此可以约去公因子 $x$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{3}$。根据极限的运算法则，常数因子可以提到极限符号外面，即 $\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} f(x)$。由第二步已知 $\lim_{x \to 0} f(x) = 6$，代入得 $\frac{1}{3} \times 6 = 2$。因此原极限的值为 $2$。注意：在化简过程中，必须确保分母不为零，此处 $3x$ 在 $x \to 0$ 时趋近于0，但约分操作是在极限符号内部进行的代数变形，只要 $x$ 在去心邻域内不为零，该变形就是合法的。最终结果 $2$ 即为所求极限值。

由前一步骤已知关系式 $\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} f(x) = 2$，这是一个关于极限值的一元一次方程。为了解出 $\lim_{x \to 0} f(x)$，我们需要将方程两边同时乘以 3，以消去分母。具体操作如下： 方程两边同时乘以 3： $$ 3 \cdot \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} f(x) = 3 \cdot 2 $$ 左边 $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$，因此化简为： $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 6 $$ 至此，我们得到了极限值 $\lim_{x \to 0} f(x) = 6$。 **验证**：将结果代入原关系式 $\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} f(x) = 2$，左边计算得 $\frac{1}{3} \times 6 = 2$，与右边相等，说明解正确。 因此，所求极限值为 6。