2016年考研数学三第8题

首先，根据题目给出的信息，随机变量$X$服从正态分布$N(1,2)$，即$X\sim N(1,2)$。这里正态分布的第一个参数是均值，第二个参数是方差，因此有$E(X)=1$，$D(X)=2$。同样地，随机变量$Y$服从正态分布$N(1,4)$，即$Y\sim N(1,4)$，所以$E(Y)=1$，$D(Y)=4$。此外，题目明确说明$X$与$Y$相互独立。因此，我们提取出以下已知条件： - $X\sim N(1,2)$，$Y\sim N(1,4)$； - $E(X)=1$，$D(X)=2$； - $E(Y)=1$，$D(Y)=4$； - $X$与$Y$相互独立。 这些条件是后续计算协方差、相关系数以及进行其他统计推断的基础。

首先，根据方差的定义，随机变量 $XY$ 的方差为 $D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2$。由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，因此 $E(XY) = E(X)E(Y)$。代入方差公式得： $$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(X)E(Y)]^2.$$ 接下来计算 $E[(XY)^2]$。因为 $(XY)^2 = X^2 Y^2$，所以 $E[(XY)^2] = E(X^2 Y^2)$。利用 $X$ 与 $Y$ 的独立性，可知 $X^2$ 与 $Y^2$ 也相互独立（因为独立随机变量的函数仍然独立），于是有 $E(X^2 Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$。因此方差公式化简为： $$D(XY) = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)E(Y)]^2.$$ 至此，我们已将 $D(XY)$ 表达为 $X$ 和 $Y$ 的期望与二阶矩的形式，为后续代入具体数值或进一步化简奠定了基础。

本步骤的目标是计算随机变量$X$和$Y$的二阶原点矩$E(X^2)$和$E(Y^2)$。已知在前序步骤中已求得：$E(X)=1$，$E(Y)=1$，$D(X)=2$，$D(Y)=4$。 根据方差与期望的关系公式：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，移项可得$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$。 首先计算$E(X^2)$： $$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+1^2=2+1=3$$ 接着计算$E(Y^2)$： $$E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=4+1^2=4+1=5$$ 因此，$E(X^2)=3$，$E(Y^2)=5$。这两个结果将用于后续步骤中计算协方差或相关系数等统计量。

本步骤的目标是计算随机变量乘积$XY$的方差$D(XY)$。根据方差的计算公式，对于任意随机变量$Z$，有$D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2$。这里$Z=XY$，因此我们需要计算$E(X^2Y^2)$和$[E(XY)]^2$。 首先，由题目已知条件（或前几步结果），$X$与$Y$相互独立，且$E(X)=1$，$E(Y)=1$，$E(X^2)=3$，$E(Y^2)=5$。由于$X$与$Y$独立，因此$X^2$与$Y^2$也相互独立，从而有$E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=3 \times 5 = 15$。 其次，计算$[E(XY)]^2$。由于$X$与$Y$独立，$E(XY)=E(X)E(Y)=1 \times 1 = 1$，所以$[E(XY)]^2 = 1^2 = 1$。 最后，代入方差公式： $$D(XY)=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2=15-1=14.$$ 因此，$D(XY)=14$。

在前面的步骤中，我们已分别计算出 $E(XY)=0$，$E(X)=0$，$E(Y)=0$，以及 $E(X^2Y^2)=14$。根据方差公式： $$D(XY)=E[(XY)^2]-[E(XY)]^2=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2$$ 代入已知数值： $$D(XY)=14-0^2=14$$ 因此，$D(XY)=14$。对照题目给出的四个选项： (A) 0 (B) 7 (C) 14 (D) 28 显然，选项 (C) 14 与计算结果一致。 最终验证：我们通过定义和期望运算得到了 $D(XY)=14$，并且所有中间计算（如 $E(XY)=0$，$E(X^2Y^2)=14$）均正确无误，因此选择 (C) 是合理的。