2016年考研数学三第7题

已知条件为 $P(A|B)=1$。根据条件概率的定义，当 $P(B)>0$ 时，有 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$。因此，由 $P(A|B)=1$ 可得： $$ \frac{P(AB)}{P(B)} = 1 $$ 等式两边同时乘以 $P(B)$（$P(B)>0$），得到： $$ P(AB) = P(B) $$ 这一步将条件概率的关系转化为事件 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率等于事件 $B$ 发生的概率。这一转化是后续推导的基础，它表明事件 $B$ 的发生必然导致事件 $A$ 的发生（在概率意义上），即 $B \subseteq A$ 几乎必然成立。

选项(A)为：$P(\overline{B} \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \overline{B})}{P(\overline{A})}$。根据条件概率的定义，该等式恒成立，因此选项(A)本身在形式上正确。但题目要求判断该等式是否一定成立，即是否在所有情况下都成立。我们需要验证其推导是否依赖于任何额外条件。 首先，由条件概率公式：$P(\overline{B} \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A})>0$。这里$\overline{A} \cap \overline{B}$就是$\overline{A}\overline{B}$，因此等式左边等于右边，这是条件概率的定义，不依赖于任何其他假设。所以选项(A)本身是恒成立的。 但题目可能考察的是：在给定$P(A|B)=1$的条件下，该等式是否仍然成立？实际上，$P(A|B)=1$意味着$P(AB)=P(B)$，这并不影响条件概率的定义，因此选项(A)仍然成立。所以选项(A)是恒成立的等式，不需要任何额外条件。 然而，题目要求选出“一定成立”的选项，而选项(A)确实一定成立。但我们需要继续分析其他选项，因为可能题目期望的是在$P(A|B)=1$的条件下，哪个选项一定成立，而选项(A)虽然恒成立，但可能不是题目所问的“一定成立”的含义？实际上，题目表述为“则下列选项正确的是”，即哪个等式一定成立。选项(A)作为条件概率的定义式，当然一定成立。但通常这类题目中，选项(A)往往被设计成错误，因为分子分母可能被误写。这里我们仔细检查：$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}$，这是正确的。所以选项(A)正确。 但为了严谨，我们按照步骤概要中的思路计算：$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}$，利用德摩根律$\overline{A}\overline{B} = \overline{A \cup B}$，则分子$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$，分母$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。因此$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{1 - P(A \cup B)}{1 - P(A)}$。这个表达式与选项(A)的原始形式等价，所以选项(A)恒成立。 因此，选项(A)一定成立。

首先，选项(A)的表达式为$P(\bar{B} | \bar{A})$。根据条件概率的定义，有 $$P(\bar{B} | \bar{A}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{A})}.$$ 由德摩根定律，$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$，因此 $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B).$$ 现在需要计算$P(A \cup B)$。已知条件为$P(AB) = P(B)$，即事件$B$包含于事件$A$（因为$P(B) = P(A \cap B)$意味着$B \subseteq A$几乎必然成立）。利用概率的加法公式： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).$$ 代入$P(AB) = P(B)$，得 $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(B) = P(A).$$ 因此，$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A)$，且$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$。于是 $$P(\bar{B} | \bar{A}) = \frac{1 - P(A)}{1 - P(A)} = 1,$$ 前提是$P(\bar{A}) > 0$（即$P(A) < 1$）。所以选项(A)的表达式化简为1，即$P(\bar{B} | \bar{A}) = 1$，选项(A)成立。

本步骤验证选项(B)、(C)、(D)是否恒成立。 **选项(B)**：$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$。 由条件概率公式，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}$。 若$A \subseteq B$且$P(A) < 1$，则$P(AB)=P(A)$，$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{B})$（因为$\overline{A} \supseteq \overline{B}$），于是$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$，$P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$。此时$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(A)}{P(B)} + 1$。由于$P(A) < 1$且$P(B) \ge P(A)$，该和不一定等于1（例如取$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，则和为$0.6+1=1.6 \neq 1$）。故(B)不一定成立。 **选项(C)**：$P(A|B) + P(\overline{A}|B) = 1$。 由条件概率定义，$P(A|B) + P(\overline{A}|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} + \frac{P(\overline{A}B)}{P(B)} = \frac{P(AB)+P(\overline{A}B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$，恒成立。但题目要求验证其他选项是否恒成立，实际上(C)恒成立，然而步骤目标是验证“不一定成立”的选项，故需指出(C)是恒成立的，但题目可能要求找出不恒成立的选项，此处需注意：若按步骤概要，应说明(C)恒为1，但概要中却说“不恒为1”，存在矛盾。根据常规理解，选项(C)恒成立，故它不符合“不一定成立”的描述。但为遵循步骤概要，我们仍按概要说明：举反例？实际上(C)无法举反例，因为它是恒等式。因此，这里应纠正：选项(C)恒成立，不是错误选项。但步骤概要要求说明(C)不恒为1，这可能是原题解析的笔误。我们按正确数学事实处理：选项(C)恒为1，故它成立。 **选项(D)**：$P(A|B) + P(A|\overline{B}) = 1$。 取$A \subseteq B$且$P(A) < 1$，则$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$，$P(A|\overline{B}) = 0$（因为$A$与$\overline{B}$不相交），和为$\frac{P(A)}{P(B)}$，不一定等于1（例如$P(A)=0.2$，$P(B)=0.5$，和为0.4）。故(D)不一定成立。 综上，选项(B)、(D)不一定成立，选项(C)恒成立。但根据步骤目标，需验证其他选项（即除正确选项外的选项）不恒成立，因此(B)和(D)是错误选项，(C)是正确选项。最终答案应选(C)。