2016年考研数学三第6题

题目给出的二次型为： $$f(x_1,x_2,x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$$ 二次型的一般形式为： $$f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$ 其中系数矩阵 $A = (a_{ij})$ 是对称矩阵，即 $a_{ij} = a_{ji}$。 对于本题的三元二次型，将其展开为： $$f = a x_1^2 + a x_2^2 + a x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$$ 根据二次型与对称矩阵的对应关系： - 平方项 $x_i^2$ 的系数直接作为矩阵主对角元 $a_{ii}$，因此 $a_{11}=a$，$a_{22}=a$，$a_{33}=a$。 - 交叉项 $x_i x_j$（$i \neq j$）的系数在二次型中通常写为 $2a_{ij}$，因此 $2a_{12}=2$，$2a_{13}=2$，$2a_{23}=2$，从而 $a_{12}=a_{21}=1$，$a_{13}=a_{31}=1$，$a_{23}=a_{32}=1$。 于是得到对称矩阵： $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ 该矩阵满足 $A^T = A$，且二次型可表示为 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T$。

设矩阵$A$为题目所给的三阶矩阵（此处根据题目信息，$A$为具体数值矩阵，但为保持一般性，假设$A$的元素已知）。计算特征多项式$|\lambda E - A|$，其中$E$为单位矩阵。 首先写出$\lambda E - A$： $$\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda - a & -1 & -1 \\ -1 & \lambda - a & -1 \\ -1 & -1 & \lambda - a \end{pmatrix}$$ 计算行列式。将第2、3列加到第1列，得： $$\begin{vmatrix} \lambda - a - 2 & -1 & -1 \\ \lambda - a - 2 & \lambda - a & -1 \\ \lambda - a - 2 & -1 & \lambda - a \end{vmatrix}$$ 提取第1列公因子$\lambda - a - 2$： $$(\lambda - a - 2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & \lambda - a & -1 \\ 1 & -1 & \lambda - a \end{vmatrix}$$ 将第1行的$-1$倍加到第2、3行，得： $$(\lambda - a - 2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda - a + 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda - a + 1 \end{vmatrix}$$ 此为上三角行列式，值为对角线元素乘积： $$(\lambda - a - 2)(\lambda - a + 1)^2$$ 因此特征多项式为： $$|\lambda E - A| = (\lambda - a - 2)(\lambda - a + 1)^2 = 0$$ 解得特征值： $$\lambda_1 = a + 2, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = a - 1$$

已知二次型的正惯性指数为 $p=1$，负惯性指数为 $q=2$，则二次型的规范形为 $y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$。由此可知，二次型矩阵 $A$ 的特征值中，正特征值的个数等于正惯性指数，负特征值的个数等于负惯性指数，零特征值的个数等于 $n-p-q$（其中 $n$ 为矩阵阶数）。本题中 $n=3$，$p=1$，$q=2$，故 $n-p-q=0$，即矩阵 $A$ 没有零特征值。因此，$A$ 的三个特征值中，一个为正数，两个为负数。这一结论在后续步骤中用于判断矩阵的秩、行列式符号以及合同关系等性质。

由前一步已知，矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = a+2$，$\lambda_2 = a-1$。题目要求矩阵$A$为正定矩阵，即所有特征值均大于零。因此需要满足： $$\begin{cases} \lambda_1 > 0 \\ \lambda_2 > 0 \end{cases}$$ 代入特征值表达式得： $$\begin{cases} a+2 > 0 \\ a-1 > 0 \end{cases}$$ 解第一个不等式：$a+2 > 0 \Rightarrow a > -2$。 解第二个不等式：$a-1 > 0 \Rightarrow a > 1$。 两个不等式同时成立，取交集，得到$a > 1$。 因此，当$a > 1$时，矩阵$A$的所有特征值均为正，矩阵$A$为正定矩阵。

前四步我们已经推导出参数$a$的取值范围为$-2 < a < 1$。现在需要根据这个解集在四个选项中选出正确的一项。 选项分析： - (A) $a < -2$：与解集$-2 < a < 1$不符，排除。 - (B) $-2 < a < -1$：解集要求$a$可以取到$(-2,1)$内的所有值，而该选项只包含$(-2,-1)$，范围过窄，排除。 - (C) $-2 < a < 1$：与解集完全一致，正确。 - (D) $0 < a < 1$：只包含$(0,1)$，范围过窄，排除。 因此，正确选项为(C)。 验证：取$a=0$（满足$-2

公式：$$-2 < a < 1$$

提示：将解集与每个选项的区间逐一比对，注意开闭区间符号。