2024年考研数学三第18题
📝 题目
（本题满分 12 分） 已知 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+e^{x}+y \ln \left(1+z^{2}\right)=0$ 确定，求 $\left(\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}\right)_{(0,0)}$
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
将 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(0,0)$ 代入原方程得 $z(0,0)=-1$ ；
原方程对 x 求偏导的 $z_{x}^{\prime}+e^{x}-y \cdot \displaystyle\frac{2 z z_{x}^{\prime}}{1+z^{2}}=0$ ，从而 $z_{x}^{\prime}(0,0)=-1$ ；
继续对 x 求偏导得 $z_{x x}^{\prime \prime}+e^{x}-y \cdot\left(\displaystyle\frac{2 z z_{x}^{\prime}}{1+z^{2}}\right){x}^{\prime}=0$ ，从而 $z{x x}^{\prime \prime}(0,0)=-1$ ；
原方程对 y 求偏导得 $z_{y}^{\prime}-1 \cdot \ln \left(1+z^{2}\right)-y \cdot \displaystyle\frac{2 z z_{y}^{\prime}}{1+z^{2}}=0$ ，从而 $z_{y}^{\prime}(0,0)=\ln 2$ ；
继续对 x 求偏导得 $z_{y y}^{\prime \prime}-\displaystyle\frac{2 z z_{y}^{\prime}}{1+z^{2}}-1 \cdot \displaystyle\frac{2 z z_{y}^{\prime}}{1+z^{2}}-y \cdot\left(\displaystyle\frac{2 z z_{y}^{\prime}}{1+z^{2}}\right){y}^{\prime}=0$ ，从而 $z{y y}^{\prime \prime}(0,0)=-2 \ln 2$
综上，$\left.\left(\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}\right)\right|_{(0,0)}=-1-2 \ln 2$ 。