2024年考研数学三第8题

答案: B

解析:

$E X=\displaystyle\int_{0}^{1} x \cdot 6 x(1-x) d x=\displaystyle\frac{1}{2}$
$E(X-E X)^{3}=\displaystyle\int_{0}^{1}(x-E X)^{3} \cdot 6 x(1-x) d x=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot 6 x(1-x) d x=0$
故选 B。

9．随机变量 $\mathrm{X} 、 \mathrm{Y}$ 相互独立，其中 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}(0,2), ~ \mathrm{Y} \sim \mathrm{N}(-1,1)$ ，记 $\mathrm{p}{1}=\mathrm{P}{2 \mathrm{X}>\mathrm{Y}}, ~ \mathrm{p}{2}=\mathrm{P}{\mathrm{X}-2 \mathrm{Y}>1}$ ，则

A．$p_{1}>p_{2}>\displaystyle\frac{1}{2}$
B．$p_{2}>p_{1}>\displaystyle\frac{1}{2}$
C．$p_{1}<p_{2}<\displaystyle\frac{1}{2}$
D．$p_{2}<p_{1}<\displaystyle\frac{1}{2}$
【参考答案】B
【参考解析】 $\mathrm{Y}-2 \mathrm{X} \sim\left(-1,3^{2}\right)$ ，所以 $p_{1}=\Phi\left(\displaystyle\frac{0+1}{3}\right)=\Phi\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)>\Phi(0)=\displaystyle\frac{1}{2}$
$2 Y-X \sim N\left(-2, \sqrt{6}^{2}\right)$ 所以 $p_{2}=\Phi\left(\displaystyle\frac{-1+2}{\sqrt{6}}\right)=\Phi\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}\right)>\Phi(0)=\displaystyle\frac{1}{2}$
因为 $\Phi(\mathrm{x})$ 单增，所以 $p_{2}>p_{1}>\displaystyle\frac{1}{2}$ 。
故选 B。

10．随机变量 $\mathrm{X} 、 \mathrm{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $Z=|X-Y|$ ，则下列随机变量中与 Z 同分布的是（ ）。

A． $\mathrm{X}+\mathrm{Y}$
B．$\displaystyle\frac{X+Y}{2}$
C． 2 X
D． X
【参考答案】D
【参考解析】令 $Z=X-Y \mid$ ，则 $F_{Z}(z)=P{Z \leq z}=P{|X-Y| \leq z}$ 。
当 $\mathrm{z}<0$ 时，$F_{Z}(z)=0$

当 $\mathrm{z} \geqslant 0$ 时，$F_{Z}(z)=\iint_{|x-y| \xi z} f(x, y) d x d y=\iint_{x-y \leq z} \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y} d x d y=2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty} d y \lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y} d y=1-e^{-\lambda z}$
所以 $F_{Z}(z)=\left{\begin{array}{l}0, z<0 \ 1-e^{-\lambda z}, z \geq 0\end{array}\right.$ 。
故选 D。