下册 8.1 二重积分 第10题
📝 题目
10．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ．
（2） $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以 $y=x, y=x+a, y=a$ 和 $y=3 a$ 为边的平行四边形．．
（3） $\displaystyle \iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1, x=1$ 所围成的平面区域．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．27所示，令 $x=a r \cos \theta, y=b r \sin \theta$ ，则
$D$ 变成 $D^{\prime}: 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, J=a b r$ ．
于是 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1}\left(a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta\right) \cdot a b r^{3} \mathrm{~d} r$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{4} a b \int_{0}^{2 \pi}\left(a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta\right) \mathrm{d} \theta \\
& =\frac{1}{4} a b \int_{0}^{2 \pi}\left(a^{2} \frac{1+\cos 2 \theta}{2}+b^{2} \frac{1-\cos 2 \theta}{2}\right) \mathrm{d} \theta \\
& =\frac{\pi}{4} a b\left(a^{2}+b^{2}\right)
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-133.jpg?height=1017&width=1285&top_left_y=6920&top_left_x=4220}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．27}
\end{figure}
（2）如图 8.28 所示，
$$
\begin{aligned}
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{a}^{3 a} \mathrm{~d} y \int_{y-a}^{y}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x=\left.\int_{a}^{3 a}\left(\frac{1}{3} x^{3}+x y^{2}\right)\right|_{y-a} ^{y} \mathrm{~d} y \\
& =\left.\int_{a}^{3 a}\left(a y^{2}-a^{2} y+\frac{1}{3} a^{3}+a y^{2}\right)\right|_{y-a} ^{y} \mathrm{~d} y=14 a^{4}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-134.jpg?height=1092&width=1079&top_left_y=2265&top_left_x=1146}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．28}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-134.jpg?height=1272&width=1292&top_left_y=2085&top_left_x=3260}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．29}
\end{figure}
（3）如图 8.29 所示，
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\int_{-1}^{1} y \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \mathrm{d} x \\
& =\int_{-1}^{1}\left[y-y^{2}+y\left(\mathrm{e}^{\frac{y^{2}+1}{2}}-\mathrm{e}^{y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} y=-\int_{-1}^{1} y^{2} \mathrm{~d} y=-\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：（1）变量代换：广义极坐标
令 $x = a r \cos \theta$, $y = b r \sin \theta$，则积分区域 $D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 变换为 $D': 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi$。雅可比行列式 $J = a b r$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(ar\cos\theta, br\sin\theta) \cdot abr \, drd\theta$
提示：注意广义极坐标的雅可比因子是 $abr$，不是 $r$。
步骤 2/9
目标：（1）代入被积函数并化简
被积函数 $x^2+y^2 = a^2 r^2 \cos^2\theta + b^2 r^2 \sin^2\theta = r^2(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)$。于是积分化为：
$$\iint_D (x^2+y^2) dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta) \cdot ab r^3 dr$$
提示：注意 $r^2$ 乘以 $abr$ 得到 $ab r^3$。
步骤 3/9
目标：（1）计算积分
先对 $r$ 积分：$\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}$。再对 $\theta$ 积分：
$$\frac{ab}{4} \int_0^{2\pi} (a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta) d\theta = \frac{ab}{4} \int_0^{2\pi} \left( a^2\frac{1+\cos2\theta}{2} + b^2\frac{1-\cos2\theta}{2} \right) d\theta$$
$$= \frac{ab}{8} \int_0^{2\pi} (a^2+b^2 + (a^2-b^2)\cos2\theta) d\theta = \frac{ab}{8} \cdot 2\pi (a^2+b^2) = \frac{\pi ab}{4}(a^2+b^2)$$
公式：$\int_0^{2\pi} \cos2\theta d\theta = 0$
提示：注意 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ 的倍角公式使用。
步骤 4/9
目标：（2）确定积分次序与积分限
区域 $D$ 是由直线 $y=x$, $y=x+a$, $y=a$, $y=3a$ 围成的平行四边形。选择先对 $x$ 后对 $y$ 积分：$y$ 从 $a$ 到 $3a$，对于每个 $y$，$x$ 从 $y-a$ 到 $y$。
提示：注意 $y=x$ 和 $y=x+a$ 是平行线，$x$ 的范围由 $y$ 决定。
步骤 5/9
目标：（2）计算内层积分
内层对 $x$ 积分：
$$\int_{y-a}^{y} (x^2+y^2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + xy^2 \right]_{x=y-a}^{x=y}$$
$$= \left( \frac{1}{3}y^3 + y^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(y-a)^3 + (y-a)y^2 \right)$$
化简得 $a y^2 - a^2 y + \frac{1}{3}a^3$。
公式：$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3$
提示：注意展开 $(y-a)^3$ 时不要出错。
步骤 6/9
目标：（2）计算外层积分
外层对 $y$ 积分：
$$\int_a^{3a} \left( a y^2 - a^2 y + \frac{1}{3}a^3 \right) dy = \left[ \frac{a}{3}y^3 - \frac{a^2}{2}y^2 + \frac{a^3}{3}y \right]_{y=a}^{y=3a}$$
代入上下限并化简得 $14a^4$。
公式：$\int y^2 dy = \frac{1}{3}y^3$, $\int y dy = \frac{1}{2}y^2$
提示：注意计算时细心，避免代数错误。
步骤 7/9
目标：（3）确定积分次序与积分限
区域 $D$ 由 $y=x$, $y=-1$, $x=1$ 围成。选择先对 $x$ 后对 $y$ 积分：$y$ 从 $-1$ 到 $1$，对于每个 $y$，$x$ 从 $y$ 到 $1$（注意 $y=x$ 即 $x=y$）。
提示：注意 $y$ 的范围是 $[-1,1]$，$x$ 的下限是 $y$ 而不是 $-1$。
步骤 8/9
目标：（3）计算内层积分
内层对 $x$ 积分：
$$\int_y^1 y\left(1 + x e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\right) dx = y \int_y^1 dx + y \int_y^1 x e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)} dx$$
第一部分：$y(1-y)$。第二部分：令 $u = \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，则 $du = x dx$，积分得 $y \left[ e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)} \right]_{x=y}^{x=1} = y\left( e^{\frac{1+y^2}{2}} - e^{y^2} \right)$。所以内层结果为 $y - y^2 + y\left( e^{\frac{1+y^2}{2}} - e^{y^2} \right)$。
公式：$\int x e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)} dx = e^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}$
提示：注意 $y$ 是常数，可以提出积分号外。
步骤 9/9
目标：（3）计算外层积分
外层对 $y$ 积分：
$$\int_{-1}^1 \left[ y - y^2 + y\left( e^{\frac{1+y^2}{2}} - e^{y^2} \right) \right] dy$$
由于 $y$ 是奇函数，$y$ 和 $y e^{\frac{1+y^2}{2}}$ 和 $y e^{y^2}$ 都是奇函数，在对称区间上积分为零。所以只剩下 $-y^2$ 的积分：
$$\int_{-1}^1 -y^2 dy = -\left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^1 = -\frac{2}{3}$$
公式：奇函数在对称区间积分为零
提示：注意识别奇偶性简化计算。
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