下册 8.1 二重积分 第11题
📝 题目
11．设一元函数 $f(u)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，证明：
$\iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中 $D:|x|+|y| \leqslant 1$ 。南京财大 2009 ，重庆大学 2006 ，南京财大 2009 ，广西师大 2009，湖北大学 2009／2004／2003（ $f(t)=t^{2}$ ））
💡 答案解析
解题过程：
如图8．30所示，令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}(u+v), y=\frac{1}{2}(u-v)$ ，则
$D$ 变成 $\displaystyle D^{\prime}:-1 \leqslant u \leqslant 1,-1 \leqslant v \leqslant 1,|J|=\frac{1}{2}$ ．
于是
$$
\iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} v=\int_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-134.jpg?height=1182&width=1300&top_left_y=5622&top_left_x=4095}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．30}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域
积分区域 $D$ 由 $|x|+|y| \leq 1$ 定义，这是一个菱形（正方形旋转45度），顶点在 $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$。
提示：注意区域边界是直线，不是圆。
步骤 2/6
目标：变量变换
令 $x = \frac{1}{2}(u+v)$, $y = \frac{1}{2}(u-v)$。则 $x+y = u$，且变换的雅可比行列式为 $|J| = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} \right| = \left| \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \right| = \left| -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{2}$。
公式：雅可比行列式 $|J| = \frac{1}{2}$
提示：计算雅可比行列式时注意绝对值。
步骤 3/6
目标：确定新积分区域
原区域 $D: |x|+|y| \leq 1$ 变换后，由 $|x|+|y| = \frac{1}{2}(|u+v|+|u-v|) \leq 1$。由于 $|u+v|+|u-v| = 2\max(|u|,|v|)$，所以条件化为 $\max(|u|,|v|) \leq 1$，即 $-1 \leq u \leq 1$, $-1 \leq v \leq 1$。因此新区域 $D'$ 是正方形 $[-1,1] \times [-1,1]$。
公式：$|u+v|+|u-v| = 2\max(|u|,|v|)$
提示：注意推导 $\max(|u|,|v|) \leq 1$ 的过程。
步骤 4/6
目标：变换积分
原积分变为 $\iint_D f(x+y) \,dx\,dy = \iint_{D'} f(u) \cdot |J| \,du\,dv = \frac{1}{2} \iint_{D'} f(u) \,du\,dv$。
公式：二重积分变量变换公式
提示：不要忘记乘以雅可比行列式的绝对值。
步骤 5/6
目标：化为累次积分
由于 $D'$ 是矩形，且被积函数 $f(u)$ 与 $v$ 无关，可先对 $v$ 积分：$\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \left( \int_{-1}^{1} f(u) \, dv \right) du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(u) \cdot (1-(-1)) \, du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} 2 f(u) \, du = \int_{-1}^{1} f(u) \, du$。
公式：累次积分
提示：注意 $\int_{-1}^{1} dv = 2$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $\iint_D f(x+y) \,dx\,dy = \int_{-1}^{1} f(u) \, du$，命题得证。
提示：最终结果与 $f$ 的具体形式无关，只要求连续。
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