下册 8.1 二重积分 第12题
📝 题目
12．积分区域 $D$ 为 $\{(x, y) \| x|+|y| \leqslant 1\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, p$ 是正整数．
（4） $\iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6） $\iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图8．31 所示，令 $\displaystyle x=\frac{1}{2}(u+v), y=\frac{1}{2}(u-v)$ ，则
$D$ 变成 $\displaystyle D^{\prime}:-1 \leqslant u \leqslant 1,-1 \leqslant v \leqslant 1,|J|=\frac{1}{2}$ ．
于是（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \frac{u v}{\sqrt{3+u}} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{u}{\sqrt{3+u}} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} v \mathrm{~d} v=0$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{\sqrt{x+y+2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \frac{v^{2}}{\sqrt{2+u}} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-135.jpg?height=1169&width=1272&top_left_y=1574&top_left_x=4261}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．31}
\end{figure}
$$
=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2+u}} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} v^{2} \mathrm{~d} v=\frac{2}{3}(\sqrt{3}-1) .
$$
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{p} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} u^{p} v^{p} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u^{p} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} v^{p} \mathrm{~d} v=\left\{\begin{array}{l}0, p \text { 为奇数，} \\ \frac{2}{(p+1)^{2}}, p \text { 为偶数。 }\end{array}\right.$
（4）方法 1：因为 $D$ 关于 $x, y$ 轴对称，被积函数是变量 $x$ 的偶函数，是变量 $y$ 的奇函数．所以
$$
\iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
方法 2： $\displaystyle \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \iint_{D^{\prime}}(u+v)^{2}(u-v) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{8} \iint_{D^{\prime}}\left(u^{2}+2 u v+v^{2}\right)(u-v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$
$$
=\frac{1}{8}\left(\int_{-1}^{1} u^{3} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} v-\int_{-1}^{1} v^{3} \mathrm{~d} v \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} u+\int_{-1}^{1} u^{2} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} v \mathrm{~d} v-\int_{-1}^{1} v^{2} \mathrm{~d} v \int_{-1}^{1} u \mathrm{~d} u\right)=0 .
$$
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{(-x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} u v \mathrm{e}^{-v} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1} v \mathrm{e}^{-v} \mathrm{~d} v=0$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D}(2 x-y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{4} \iint_{D^{\prime}}(u+3 v+2) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} u \int_{-1}^{1}(u+3 v+2) \mathrm{d} v=2$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量变换
令 $x = \frac{1}{2}(u+v), y = \frac{1}{2}(u-v)$，则 $|x|+|y| \leq 1$ 变为 $|u| \leq 1, |v| \leq 1$，即区域 $D' = [-1,1] \times [-1,1]$。雅可比行列式 $|J| = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{2}$。
公式：$x = \frac{1}{2}(u+v), y = \frac{1}{2}(u-v), |J| = \frac{1}{2}$
提示：注意变换后区域是正方形，积分限为常数。
步骤 2/7
目标：计算积分(1)
被积函数 $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x+y+3}} = \frac{uv}{\sqrt{3+u}}$。积分变为 $\iint_{D'} \frac{uv}{\sqrt{3+u}} \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{u}{\sqrt{3+u}} \, du \int_{-1}^{1} v \, dv$。由于 $\int_{-1}^{1} v \, dv = 0$，结果为0。
公式：$\iint_D f \, dxdy = \iint_{D'} f \cdot |J| \, du \, dv$
提示：注意被积函数分离变量后，其中一个积分因子为奇函数，积分为0。
步骤 3/7
目标：计算积分(2)
被积函数 $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{\sqrt{x+y+2}} = \frac{(x-y)^2}{\sqrt{x+y+2}} = \frac{v^2}{\sqrt{2+u}}$。积分变为 $\iint_{D'} \frac{v^2}{\sqrt{2+u}} \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2+u}} \, du \int_{-1}^{1} v^2 \, dv$。计算得 $\frac{1}{2} \cdot \left[ 2(\sqrt{3}-1) \right] \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(\sqrt{3}-1)$。
公式：$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2+u}} \, du = 2(\sqrt{3}-1), \int_{-1}^{1} v^2 \, dv = \frac{2}{3}$
提示：注意 $\sqrt{2+u}$ 在 $u \in [-1,1]$ 上恒正，可直接积分。
步骤 4/7
目标：计算积分(3)
被积函数 $(x^2 - y^2)^p = (uv)^p = u^p v^p$。积分变为 $\iint_{D'} u^p v^p \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u^p \, du \int_{-1}^{1} v^p \, dv$。当 $p$ 为奇数时，$\int_{-1}^{1} u^p \, du = 0$，结果为0；当 $p$ 为偶数时，$\int_{-1}^{1} u^p \, du = \frac{2}{p+1}$，结果为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{p+1} \cdot \frac{2}{p+1} = \frac{2}{(p+1)^2}$。
公式：$\int_{-1}^{1} u^p \, du = \begin{cases} 0, & p \text{ odd} \\ \frac{2}{p+1}, & p \text{ even} \end{cases}$
提示：注意奇偶性：奇函数在对称区间积分为0。
步骤 5/7
目标：计算积分(4) - 对称性法
区域 $D$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，被积函数 $x^2 y$ 关于 $y$ 是奇函数（$y$ 的奇次幂），因此积分为0。
提示：利用对称性时需检查被积函数关于相应变量的奇偶性。
步骤 6/7
目标：计算积分(5)
被积函数 $(x^2 - y^2) e^{-x+y} = uv e^{-v}$。积分变为 $\iint_{D'} uv e^{-v} \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u \, du \int_{-1}^{1} v e^{-v} \, dv$。由于 $\int_{-1}^{1} u \, du = 0$，结果为0。
提示：注意分离变量后，$u$ 的积分为0。
步骤 7/7
目标：计算积分(6)
被积函数 $2x - y + 1 = 2 \cdot \frac{1}{2}(u+v) - \frac{1}{2}(u-v) + 1 = u + \frac{3}{2}v + 1$？仔细计算：$2x - y + 1 = 2 \cdot \frac{u+v}{2} - \frac{u-v}{2} + 1 = u+v - \frac{u}{2} + \frac{v}{2} + 1 = \frac{u}{2} + \frac{3v}{2} + 1$。但答案中写为 $\frac{1}{4}(u+3v+2)$，检查：$\frac{1}{4}(u+3v+2) = \frac{u}{4} + \frac{3v}{4} + \frac{1}{2}$，不一致。重新计算：$2x - y + 1 = (u+v) - \frac{u-v}{2} + 1 = u+v - \frac{u}{2} + \frac{v}{2} + 1 = \frac{u}{2} + \frac{3v}{2} + 1$。乘以 $|J| = \frac{1}{2}$ 后，被积函数为 $\frac{1}{2}(\frac{u}{2} + \frac{3v}{2} + 1) = \frac{u}{4} + \frac{3v}{4} + \frac{1}{2}$。而答案中写为 $\frac{1}{4}(u+3v+2)$，展开正是 $\frac{u}{4} + \frac{3v}{4} + \frac{1}{2}$，一致。所以积分 $\iint_{D'} \frac{1}{4}(u+3v+2) \, du \, dv = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \, du \int_{-1}^{1} (u+3v+2) \, dv$。先对 $v$ 积分：$\int_{-1}^{1} (u+3v+2) \, dv = [ (u+2)v + \frac{3}{2}v^2 ]_{-1}^{1} = 2(u+2) + 0 = 2u+4$。再对 $u$ 积分：$\int_{-1}^{1} (2u+4) \, du = [u^2 + 4u]_{-1}^{1} = (1+4) - (1-4) = 5 - (-3) = 8$。乘以 $\frac{1}{4}$ 得 $2$。
公式：$\iint_{D'} \frac{1}{4}(u+3v+2) \, du \, dv = 2$
提示：注意变量替换后要仔细计算线性变换，避免代数错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。