下册 8.1 二重积分 第13题
📝 题目
13．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \pi\}$ ．
（2） $\iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x+y \leqslant \pi, 0 \leqslant x-y \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x+y=a, x=0$ 及 $y=0$ 所围成的区域．$(a=1$ ：湖北大学 2005 ，华南理工 2011，北京科技 2009，青岛理工 2007，沈阳工大 2011，浙江大学，山西师大 2010 ，天津大学 $2000 ; a=2$ ：南航 2007，燕山大学 2011，广州大学 2009）
（4） $\displaystyle \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x+y=1, x=0$ 及 $y=0$ 所围成的区域．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $u=x+y, v=x-y$ 则 $\displaystyle |J(u, v)|=\frac{1}{2}$ ．
（1）如图 8.32 所示，$D$ 变成 $D^{\prime}=\{(u, v) \mid 0 \leqslant u \leqslant \pi, 0 \leqslant v \leqslant \pi\}$ 。于是
$$
\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} u \sin v \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} u \mathrm{~d} u \int_{0}^{\pi} \sin v \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \pi^{2} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-136.jpg?height=1120&width=1278&top_left_y=2652&top_left_x=1188}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．32}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-136.jpg?height=1003&width=1203&top_left_y=2769&top_left_x=3536}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．33}
\end{figure}
（2）如图8．33 所示，$D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}=\left\{(u, v) \mid 0 \leqslant u \leqslant \pi, 0 \leqslant v \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ ．于是
$$
\iint_{D}(x+y) \cos (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} u \cos v \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} u \mathrm{~d} u \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos v \mathrm{~d} v=\frac{1}{4} \pi^{2}
$$
（3）如图 8.34 所示，$D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}=\{(u, v) \mid 0 \leqslant u \leqslant a,-u \leqslant v \leqslant u\},|J|=\frac{1}{2}$ ．于是
$$
\iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \mathrm{e}^{\frac{v}{u}} \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{a} \mathrm{~d} u \int_{-u}^{u} \mathrm{e}^{\frac{v}{u}} \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{a} u\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right) \mathrm{d} u=\frac{a^{2}}{4}\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-136.jpg?height=989&width=1445&top_left_y=5815&top_left_x=2990}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 8.34}
\end{figure}
（4）如图 8.34 所示，$D$ 变为 $D^{\prime}=\{(u, v) \mid 0 \leqslant u \leqslant 1,-u \leqslant v \leqslant u\}$ 。于是
$$
\iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{u v}} \cos \frac{v}{u} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{-u}^{u} \cos \frac{v}{u} \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2 \sin 1 \cdot u \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} \sin 1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换
令 $u = x + y$, $v = x - y$，则 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。雅可比行列式为 $|J| = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{2}$。
公式：$|J| = \frac{1}{2}$
提示：注意雅可比行列式是绝对值，且变换需可逆。
步骤 2/5
目标：确定新积分区域
原区域 $D$ 由 $0 \leq x+y \leq \pi$, $0 \leq x-y \leq \pi$ 给出，变换后 $D' = \{(u,v) \mid 0 \leq u \leq \pi, 0 \leq v \leq \pi\}$。
提示：注意 $u$ 和 $v$ 的范围独立，区域为矩形。
步骤 3/5
目标：转换被积函数
被积函数 $(x+y)\sin(x-y)$ 变为 $u \sin v$。
步骤 4/5
目标：写出二重积分并分离变量
原积分化为 $\iint_{D'} u \sin v \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv = \frac{1}{2} \int_0^\pi u \, du \int_0^\pi \sin v \, dv$。
公式：$\iint f(u)g(v) \, du \, dv = \int f(u) \, du \cdot \int g(v) \, dv$
提示：注意积分限为常数，可分离变量。
步骤 5/5
目标：计算定积分
$\int_0^\pi u \, du = \frac{\pi^2}{2}$, $\int_0^\pi \sin v \, dv = 2$，相乘得 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac{\pi^2}{2}$。
公式：$\int_0^\pi u \, du = \frac{\pi^2}{2}$, $\int_0^\pi \sin v \, dv = 2$
提示：注意 $\int \sin v \, dv = -\cos v$，代入上下限得 $2$。
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