下册 8.1 二重积分 第14题
📝 题目
14．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x+y=1$ 及两坐标轴围成的三角形区域．
（3） $\iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x+y=1, x=0$ 及 $y=x$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(x+y)((\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为直线 $x=0, x+y=1, y=x$ 所围成的三角形
区域．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．35所示，令 $u=x+y, v=x$ ，则
$$
D \text { 变为 } D^{\prime}=\{(u, v) \mid 0 \leqslant v \leqslant u, 0 \leqslant u \leqslant 1\}, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=1 \text {. }
$$
于是
$$
\iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \mathrm{e}^{\frac{v}{u}} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u} \mathrm{e}^{\frac{v}{u}} \mathrm{~d} v=\frac{1}{2}(\mathrm{e}-1) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-137.jpg?height=1002&width=2688&top_left_y=4006&top_left_x=1498}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．35}
\end{figure}
（2）设 $u=x+y, v=x$ ，即 $x=v, y=u-v$ ，则
$$
D \text { 变为 } D^{\prime}=\{(u, v) \mid 0 \leqslant v \leqslant u, 0 \leqslant u \leqslant 1\}, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=-1 \text {. }
$$
于是 $\displaystyle \quad \iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \frac{u(\ln u-\ln v)}{\sqrt{1-u}} \cdot|-1| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\int_{0}^{1} \frac{u}{\sqrt{1-u}} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u}(\ln u-\ln v) \mathrm{d} v$
$$
=\int_{0}^{1} \frac{u^{2}}{\sqrt{1-u}} \mathrm{~d} u=B\left(3, \frac{1}{2}\right)=\frac{16}{15} .
$$
（3）如图8．36所示，令 $x=u-v, y=u$ ，则
$$
D \text { 变为 } D^{\prime}=\left\{(u, v) \left\lvert\, \frac{v}{2} \leqslant u \leqslant v\right., 0 \leqslant v \leqslant 1\right\}, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{array}\right|=1 \neq 0 \text {. }
$$
于是
$$
\iint_{D} \mathrm{e}^{-(x+y)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \mathrm{e}^{-v^{2}} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-v^{2}} \mathrm{~d} v \int_{\frac{v}{2}}^{v} \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} v \mathrm{e}^{-v^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{1}{4}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-138.jpg?height=913&width=892&top_left_y=1229&top_left_x=1326}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．36}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-138.jpg?height=1341&width=988&top_left_y=801&top_left_x=3481}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．37}
\end{figure}
（4）如图8．36和图8．37所示，设 $u=x+y, v=y$ ，即 $y=v, x=u-v$ ，则 $D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}=\left\{(u, v) \left\lvert\, \frac{u}{2} \leqslant v \leqslant u\right., 0 \leqslant u \leqslant 1\right\}, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=1$ ．
于是
$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{D} \frac{(x+y)(\ln (x+y)-\ln y)}{\sqrt{2-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \frac{u(\ln u-\ln v)}{\sqrt{2-u}} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \\
& =\int_{0}^{1} \frac{u}{\sqrt{2-u}} \mathrm{~d} u \int_{\frac{u}{2}}^{u}(\ln u-\ln v) \mathrm{d} v=\frac{1-\ln 2}{2} \int_{0}^{1} \frac{u^{2}}{\sqrt{2-u}} \mathrm{~d} u \\
& =\frac{1-\ln 2}{2}\left[\int_{0}^{1}(2-u)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} u-4 \int_{0}^{1}(2-u)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} u+4 \int_{0}^{1}(2-u)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} u\right]=\frac{1-\ln 2}{15}(22 \sqrt{2}-43)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换与区域变换
令 $u=x+y$, $v=x$，则 $x=v$, $y=u-v$。区域 $D=\{(x,y)\mid x+y\le 1, x\ge 0, y\ge 0\}$ 变为 $D'=\{(u,v)\mid 0\le v\le u, 0\le u\le 1\}$。雅可比行列式 $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=1$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudv$
提示：注意雅可比行列式的绝对值，此处 $J=1$，故 $|J|=1$。
步骤 2/6
目标：积分表达式变换
被积函数 $e^{\frac{x}{x+y}} = e^{\frac{v}{u}}$，因此积分化为 $\iint_{D'} e^{\frac{v}{u}} dudv$。
提示：正确代入变量替换后的表达式。
步骤 3/6
目标：化为累次积分
积分区域 $D'$ 可表示为 $0\le u\le 1$, $0\le v\le u$，故累次积分为 $\int_0^1 du \int_0^u e^{\frac{v}{u}} dv$。
提示：注意积分次序：先对 $v$ 积分，再对 $u$ 积分。
步骤 4/6
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_0^u e^{\frac{v}{u}} dv = u e^{\frac{v}{u}} \big|_0^u = u(e - 1)$。
公式：$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$
提示：注意 $\frac{v}{u}$ 中 $u$ 视为常数，积分变量为 $v$。
步骤 5/6
目标：计算外层积分
外层积分 $\int_0^1 u(e-1) du = (e-1) \int_0^1 u du = (e-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}$。
公式：$\int_0^1 u du = \frac{1}{2}$
提示：注意常数因子 $(e-1)$ 的提取。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原积分 $\iint_D e^{\frac{x}{x+y}} dxdy = \frac{1}{2}(e-1)$。
提示：结果化简为 $\frac{e-1}{2}$。
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