下册 8.1 二重积分 第15题
📝 题目
15．计算二重积分 $\iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为
$\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2} \leqslant h, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 为常数，$a_{1} b_{2} \neq a_{2} b_{1}$ ，常数 $h>0$ ．
💡 答案解析
解题过程：
令 $\left\{\begin{array}{l}u=a_{1} x+b_{1} y+c_{1}, \\ v=a_{2} x+b_{2} y+c_{2},\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle u^{2}+v^{2} \leqslant h, J=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|=\frac{1}{\left|a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right|}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \iint_{D}\left[a_{1} a_{2} x^{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) x y+b_{1} b_{2} y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D}\left(a_{1} x+b_{1} y\right)\left(a_{2} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{\left|a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right|} \int_{u^{2}+v^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：变量替换
令 $u = a_1 x + b_1 y + c_1$, $v = a_2 x + b_2 y + c_2$，则积分区域 $D$ 变为 $u^2 + v^2 \leq h$。由于 $a_1 b_2 \neq a_2 b_1$，变换可逆，雅可比行列式 $J = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$。
公式：$J = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$
提示：注意雅可比行列式是变换的导数行列式的绝对值，且 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)^{-1}$。
步骤 2/8
目标：被积函数变换
原被积函数为 $a_1 a_2 x^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1) x y + b_1 b_2 y^2 = (a_1 x + b_1 y)(a_2 x + b_2 y)$。由变换得 $a_1 x + b_1 y = u - c_1$, $a_2 x + b_2 y = v - c_2$，所以被积函数变为 $(u - c_1)(v - c_2)$。
公式：$(a_1 x + b_1 y)(a_2 x + b_2 y) = (u - c_1)(v - c_2)$
提示：注意 $c_1, c_2$ 是常数，不要遗漏。
步骤 3/8
目标：二重积分变换
原积分化为 $\iint_{u^2+v^2 \leq h} (u - c_1)(v - c_2) \cdot \frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|} \, du dv$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv$
提示：注意雅可比行列式取绝对值，且积分区域变为圆盘。
步骤 4/8
目标：极坐标变换
令 $u = r \cos \theta$, $v = r \sin \theta$，则 $r \in [0, \sqrt{h}]$, $\theta \in [0, 2\pi]$，$du dv = r dr d\theta$。被积函数变为 $(r \cos \theta - c_1)(r \sin \theta - c_2) r$。
公式：$u = r \cos \theta, v = r \sin \theta, du dv = r dr d\theta$
提示：注意极坐标变换中面积元是 $r dr d\theta$，且 $r$ 从0到 $\sqrt{h}$。
步骤 5/8
目标：展开被积函数
展开 $(r \cos \theta - c_1)(r \sin \theta - c_2) r = r^3 \cos \theta \sin \theta - c_1 r^2 \sin \theta - c_2 r^2 \cos \theta + c_1 c_2 r$。
公式：无
提示：注意展开时各项的系数和幂次。
步骤 6/8
目标：先对r积分
先对 $r$ 积分：$\int_0^{\sqrt{h}} r^3 dr = \frac{h^2}{4}$, $\int_0^{\sqrt{h}} r^2 dr = \frac{h^{3/2}}{3}$, $\int_0^{\sqrt{h}} r dr = \frac{h}{2}$。代入得 $\frac{h^2}{4} \cos \theta \sin \theta - \frac{c_1}{3} h^{3/2} \sin \theta - \frac{c_2}{3} h^{3/2} \cos \theta + \frac{c_1 c_2}{2} h$。
公式：$\int_0^{\sqrt{h}} r^n dr = \frac{h^{(n+1)/2}}{n+1}$
提示：注意 $\sqrt{h}$ 的幂次计算，$h^{3/2}$ 不要写成 $h^{1.5}$。
步骤 7/8
目标：对θ积分
对 $\theta$ 从0到 $2\pi$ 积分：$\int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} \sin \theta d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} \cos \theta d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。因此只剩下常数项 $\frac{c_1 c_2}{2} h \cdot 2\pi = c_1 c_2 h \pi$。
公式：$\int_0^{2\pi} \sin \theta d\theta = \int_0^{2\pi} \cos \theta d\theta = 0$, $\int_0^{2\pi} \sin \theta \cos \theta d\theta = 0$
提示：注意三角函数的周期性质，奇函数在对称区间积分为零。
步骤 8/8
目标：乘以雅可比因子
最后乘以 $\frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$，得到积分结果 $\frac{c_1 c_2 h \pi}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$。
公式：无
提示：注意不要忘记雅可比行列式因子。
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