下册 8.1 二重积分 第16题
📝 题目
16．设 $D$ 由 $x y=1, x y=2, x=y$ 及 $4 x=y, x>0, y>0$ 围成，计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图8．38 所示，令 $\displaystyle u=x y, v=\frac{y}{x}$ ，即 $\displaystyle x=\sqrt{\frac{u}{v}}, y=\sqrt{u v}$ ，则 $D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}: 1 \leqslant u \leqslant 2,1 \leqslant v \leqslant 4,|J|=\frac{1}{2 v}$ ．
于是（1） $\displaystyle \iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} f(u) \mathrm{d} u \int_{1}^{4} \frac{1}{2 v} \mathrm{~d} v=\ln 2 \int_{1}^{2} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(\sqrt{x y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{1}^{2} f(\sqrt{u}) \mathrm{d} u \int_{1}^{4} \frac{1}{2 v} \mathrm{~d} v=\ln 2 \int_{1}^{2} f(\sqrt{u}) \mathrm{d} u$ ．
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．38}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域并引入变量变换
积分区域 $D$ 由曲线 $xy=1$, $xy=2$, $x=y$ 及 $4x=y$ 围成，且 $x>0$, $y>0$。为了简化被积函数和积分区域，令 $u=xy$, $v=\frac{y}{x}$。则 $u$ 的范围由 $xy=1$ 和 $xy=2$ 确定为 $1 \leq u \leq 2$；$v$ 的范围由 $x=y$ 和 $4x=y$ 确定为 $1 \leq v \leq 4$。
提示：注意 $x>0,y>0$ 保证变换是单射且可逆。
步骤 2/5
目标：计算雅可比行列式
由变换 $u=xy$, $v=\frac{y}{x}$，解出 $x=\sqrt{\frac{u}{v}}$, $y=\sqrt{uv}$。计算雅可比行列式：
$$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2\sqrt{uv}} & -\frac{\sqrt{u}}{2v^{3/2}} \\ \frac{\sqrt{v}}{2\sqrt{u}} & \frac{\sqrt{u}}{2\sqrt{v}} \end{vmatrix} = \frac{1}{2v}.$$
因此 $|J| = \frac{1}{2v}$。
公式：$|J| = \frac{1}{2v}$
提示：计算雅可比行列式时注意符号，最终取绝对值。
步骤 3/5
目标：将二重积分变换到新变量
二重积分变换公式：$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| \,dudv$。对于 (1)，被积函数 $f(xy) = f(u)$，所以
$$\iint_D f(xy) \,dxdy = \int_{u=1}^2 \int_{v=1}^4 f(u) \cdot \frac{1}{2v} \,dvdu.$$
公式：$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| \,dudv$
提示：注意积分次序：先对 $v$ 积分，再对 $u$ 积分。
步骤 4/5
目标：计算 (1) 的积分
先对 $v$ 积分：$\int_1^4 \frac{1}{2v} \,dv = \frac{1}{2} \ln v \big|_1^4 = \frac{1}{2} \ln 4 = \ln 2$。再对 $u$ 积分：$\int_1^2 f(u) \,du$。因此
$$\iint_D f(xy) \,dxdy = \ln 2 \int_1^2 f(u) \,du.$$
公式：$\int \frac{1}{v} dv = \ln|v|$
提示：注意 $\ln 4 = 2\ln 2$，化简后得到 $\ln 2$。
步骤 5/5
目标：计算 (2) 的积分
对于 (2)，被积函数 $f(\sqrt{xy}) = f(\sqrt{u})$。变换后积分：
$$\iint_D f(\sqrt{xy}) \,dxdy = \int_{u=1}^2 \int_{v=1}^4 f(\sqrt{u}) \cdot \frac{1}{2v} \,dvdu = \left(\int_1^2 f(\sqrt{u}) \,du\right) \left(\int_1^4 \frac{1}{2v} \,dv\right) = \ln 2 \int_1^2 f(\sqrt{u}) \,du.$$
提示：注意 $f(\sqrt{u})$ 中的 $u$ 是积分变量，与 (1) 类似。
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