下册 8.1 二重积分 第17题
📝 题目
17．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y^{2}=b x, y^{2}=a x, x y=c, x y=d(00, y>0, y \leqslant x^{2} \leqslant 2 y, x \leqslant y^{2} \leqslant 2 x$ 围成．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．39所示，令 $\displaystyle v=\frac{y^{2}}{x}, u=x y$ ，则
$D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}: a \leqslant v \leqslant b, c \leqslant u \leqslant d . J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{1}{3 v}$ ．
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \ln \frac{y^{2}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D^{\prime}} \ln v \cdot \frac{1}{3 v} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} \int_{a}^{b} \frac{\ln v}{v} \mathrm{~d} v \int_{c}^{d} \mathrm{~d} u \\
& =\frac{1}{6}(d-c)\left(\ln ^{2} b-\ln ^{2} a\right)
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-139.jpg?height=1597&width=1472&top_left_y=6340&top_left_x=4102}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．39}
\end{figure}
（2）令 $x y=u, y^{2}=v x$ ，则 $\displaystyle 1 \leqslant u \leqslant 3,1 \leqslant v \leqslant 3 ; J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v}$ ．于是 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} \frac{3}{v} \cdot \frac{1}{1+u} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\int_{1}^{3} \int_{1}^{3} \frac{1}{1+u} \cdot \frac{1}{v^{2}} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=(\ln 4-\ln 2)\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3} \ln 2$.
（3）令 $x y=u, y^{2}=v x$ ，则 $\displaystyle 1 \leqslant u \leqslant 3,1 \leqslant v \leqslant 3 ; J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \frac{y+x y^{3}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D} \frac{y^{2}}{x}\left(\frac{1}{y}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} v\left(u^{-\frac{1}{3}} v^{-\frac{1}{3}}+u\right) \cdot \frac{1}{3 v} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \\
& =\frac{1}{3} \int_{1}^{3} u^{-\frac{1}{3}} \mathrm{~d} u \int_{1}^{3} v^{-\frac{1}{3}} \mathrm{~d} v+\frac{1}{3} \int_{1}^{3} u \mathrm{~d} u \int_{1}^{3} \mathrm{~d} v=\frac{3}{4}(\sqrt[3]{9}-1)^{2}+\frac{8}{3}
\end{aligned}
$$
（4）如图8．40所示，令 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{y}, v=\frac{y^{2}}{x}$ ，则
$$
a \leqslant u \leqslant b, p \leqslant v \leqslant q, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{1}{3}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \frac{1}{x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D^{\prime}} \frac{1}{3 v u} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} \int_{a}^{b} \frac{1}{u} \mathrm{~d} u \int_{p}^{q} \frac{1}{v} \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} \ln \frac{q}{p} \ln \frac{b}{a} \\
\text { (5) } \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D^{\prime}} \frac{1}{3} v u \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} \int_{1}^{2} u \mathrm{~d} u \int_{1}^{2} v \mathrm{~d} v=\frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-140.jpg?height=1361&width=1452&top_left_y=3025&top_left_x=4088}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．40}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量变换
令 $u = xy$, $v = \frac{y^2}{x}$，则积分区域 $D$ 由 $xy=1, xy=3, y^2=x, y^2=3x$ 围成，变换后 $D'$ 为 $1 \leq u \leq 3$, $1 \leq v \leq 3$。
提示：注意变换的雅可比行列式计算
步骤 2/6
目标：计算雅可比行列式
由 $u = xy$, $v = \frac{y^2}{x}$，解得 $x = u^{\frac{1}{3}} v^{-\frac{1}{3}}$, $y = u^{\frac{1}{3}} v^{\frac{1}{3}}$。雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{1}{3v}$。
公式：$J = \frac{1}{3v}$
提示：注意雅可比行列式取绝对值
步骤 3/6
目标：被积函数变换
原被积函数 $\frac{3x}{y^2+xy^3} = \frac{3x}{y^2(1+xy)} = \frac{3x}{y^2(1+u)}$。由 $v = \frac{y^2}{x}$ 得 $\frac{x}{y^2} = \frac{1}{v}$，所以被积函数化为 $\frac{3}{v(1+u)}$。
公式：$\frac{3x}{y^2+xy^3} = \frac{3}{v(1+u)}$
提示：注意代数化简
步骤 4/6
目标：二重积分变换
积分变为 $\iint_{D'} \frac{3}{v(1+u)} \cdot |J| \, du dv = \iint_{D'} \frac{3}{v(1+u)} \cdot \frac{1}{3v} \, du dv = \iint_{D'} \frac{1}{(1+u)v^2} \, du dv$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv$
提示：不要忘记乘以雅可比行列式的绝对值
步骤 5/6
目标：化为累次积分
积分区域为矩形，故 $I = \int_{1}^{3} \int_{1}^{3} \frac{1}{(1+u)v^2} \, du dv = \left(\int_{1}^{3} \frac{1}{1+u} du\right) \left(\int_{1}^{3} \frac{1}{v^2} dv\right)$。
提示：注意积分上下限对应
步骤 6/6
目标：计算积分
$\int_{1}^{3} \frac{1}{1+u} du = \ln(1+u) \big|_{1}^{3} = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2$。$\int_{1}^{3} \frac{1}{v^2} dv = -\frac{1}{v} \big|_{1}^{3} = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$。相乘得 $I = \ln 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \ln 2$。
提示：注意对数运算和分数运算
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