下册 8.1 二重积分 第18题
📝 题目
18．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x$ 轴，$y=x, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 围成的有界闭区域．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle \sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $x=c, y=c$ 围成，$a, b, c>0$ ．
（3） $\iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成．
（4） $\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．41所示，令 $\displaystyle u=\sqrt{x}+\sqrt{y}, v=\frac{y}{x}$ ，则
$$
(u, v) \in[1,2] \times[0,1], \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\frac{u}{2 x^{2}}, J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\frac{2 x^{2}}{u}
$$
于是
$$
\iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{1}^{2} \frac{u^{4}}{x^{2}} \frac{2 x^{2}}{u} \mathrm{~d} u=2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} v \int_{1}^{2} u^{3} \mathrm{~d} u=\frac{15}{2}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-141.jpg?height=1348&width=1514&top_left_y=787&top_left_x=1049}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．41}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-141.jpg?height=1383&width=1362&top_left_y=759&top_left_x=3494}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．42}
\end{figure}
（2）方法 1 ：如图 8.42 所示，令 $\displaystyle u=\sqrt{\frac{x-c}{a}}, v=\sqrt{\frac{y-c}{b}}$ ，则 $D$ 变为 $D^{\prime}: 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant 1-u$ ， $\displaystyle J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=4 a b u v$ 。于是
$$
\iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}}(u+v) 4 a b u v \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=4 a b \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1-u}\left(u^{2} v+u v^{2}\right) \mathrm{d} v=\frac{2 a b}{15} .
$$
方 法 2：令 $x=c+a r \cos ^{4} \theta, y=c+b r \sin ^{4} \theta$ ，则 $J=4 a b r \cos ^{3} \theta \sin ^{3} \theta$ ，积分区域变为 $\displaystyle \left\{0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant 1\right\}$ ．于是
$\displaystyle \iint_{D}\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} 4 a b r \cos ^{3} \theta \sin ^{3} \theta \sqrt{r} \mathrm{~d} r=\frac{2 a b}{15}$ ．
（3）如图8．43所示，令 $\sqrt{x}=u, \sqrt{y}=v$ ，即 $x=u^{2}, y=v^{2}$ ，则
$D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}: 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant 1-u ; J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=4 u v$ 。
于是
$$
\iint_{D}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}}(u+v) \cdot 4 u v \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=4 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} u \int_{0}^{1-u}(u+v) u v \mathrm{~d} v=\frac{2}{15} .
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-141.jpg?height=1196&width=1251&top_left_y=4517&top_left_x=4323}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．43}
\end{figure}
（4）令 $x=r \cos ^{4} \theta, y=r \sin ^{4} \theta$ ，则 $D$ 变为 $\displaystyle D^{\prime}: 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant r \leqslant 1, J=4 r \cos ^{3} \theta \sin ^{3} \theta$ 。于是
$$
\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} r^{\frac{1}{4}} \cdot 4 r \sin ^{3} \theta \cos ^{3} \theta \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} \theta \cos ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{\frac{5}{4}} \mathrm{~d} r=\frac{4}{27} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：分析积分区域与变量替换
观察被积函数和积分区域，发现区域边界由 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 和 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 以及 $x$ 轴、$y=x$ 围成。令 $u=\sqrt{x}+\sqrt{y}$，$v=\frac{y}{x}$，则 $u$ 从1到2，$v$ 从0到1。
提示：注意 $v$ 的范围：由 $y=x$ 得 $v=1$，由 $x$ 轴得 $v=0$。
步骤 2/11
目标：计算雅可比行列式
计算 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$：
$u_x=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$u_y=\frac{1}{2\sqrt{y}}$，$v_x=-\frac{y}{x^2}$，$v_y=\frac{1}{x}$。
雅可比行列式 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot(-\frac{y}{x^2})=\frac{1}{2x\sqrt{x}}+\frac{y}{2x^2\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{2x^2}=\frac{u}{2x^2}$。
因此 $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{2x^2}{u}$。
公式：$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\frac{u}{2x^2}$，$J=\frac{2x^2}{u}$
提示：雅可比行列式是变换的导数行列式的倒数，注意符号。
步骤 3/11
目标：变换积分并计算
被积函数 $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^4}{x^2}=\frac{u^4}{x^2}$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{2x^2}{u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
积分变为 $\iint_{D'}\frac{u^4}{x^2}\cdot\frac{2x^2}{u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=2\iint_{D'}u^3\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
$D': 1\le u\le 2, 0\le v\le 1$，所以 $2\int_0^1\mathrm{d}v\int_1^2 u^3\mathrm{d}u=2\cdot1\cdot\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=2\cdot\frac{16-1}{4}=2\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$。
公式：$\iint_D f\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D'} f|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$
提示：注意 $x^2$ 在变换中消去，简化计算。
步骤 4/11
目标：分析第二题积分区域与变量替换
区域 $D$ 由 $\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $x=c, y=c$ 围成。令 $u=\sqrt{\frac{x-c}{a}}$，$v=\sqrt{\frac{y-c}{b}}$，则 $x=c+au^2$，$y=c+bv^2$，$u\ge0, v\ge0$，且 $u+v\le1$。
提示：注意 $x=c$ 对应 $u=0$，$y=c$ 对应 $v=0$。
步骤 5/11
目标：计算第二题雅可比行列式
计算 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$：
$x_u=2au$，$x_v=0$，$y_u=0$，$y_v=2bv$。
雅可比行列式 $J=2au\cdot2bv=4abuv$。
公式：$J=4abuv$
提示：注意 $a,b>0$，雅可比为正。
步骤 6/11
目标：变换第二题积分并计算
被积函数 $\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=u+v$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=4abuv\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
积分 $\iint_{D'}(u+v)4abuv\mathrm{d}u\mathrm{d}v=4ab\int_0^1\mathrm{d}u\int_0^{1-u}(u^2v+uv^2)\mathrm{d}v$。
先对 $v$ 积分：$\int_0^{1-u}(u^2v+uv^2)\mathrm{d}v=u^2\cdot\frac{(1-u)^2}{2}+u\cdot\frac{(1-u)^3}{3}$。
再对 $u$ 积分：$4ab\int_0^1\left[\frac{u^2(1-u)^2}{2}+\frac{u(1-u)^3}{3}\right]\mathrm{d}u=4ab\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}\right)=\frac{2ab}{15}$。
提示：计算 $\int_0^1 u^2(1-u)^2\mathrm{d}u=\frac{1}{30}$，$\int_0^1 u(1-u)^3\mathrm{d}u=\frac{1}{20}$，注意合并。
步骤 7/11
目标：分析第三题积分区域与变量替换
区域 $D$ 由 $x=0, y=0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成。令 $u=\sqrt{x}$，$v=\sqrt{y}$，则 $x=u^2$，$y=v^2$，$u\ge0, v\ge0$，且 $u+v\le1$。
提示：注意 $x=0$ 对应 $u=0$，$y=0$ 对应 $v=0$。
步骤 8/11
目标：计算第三题雅可比行列式并积分
雅可比行列式 $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=2u\cdot2v=4uv$。
被积函数 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=u+v$，积分 $\iint_{D'}(u+v)4uv\mathrm{d}u\mathrm{d}v=4\int_0^1\mathrm{d}u\int_0^{1-u}(u^2v+uv^2)\mathrm{d}v$。
与第二题类似，计算得 $4\cdot\frac{1}{30}=\frac{2}{15}$。
提示：注意与第二题的区别：没有 $a,b$ 因子。
步骤 9/11
目标：分析第四题积分区域与变量替换
区域 $D$ 由 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0, y=0$ 围成。令 $x=r\cos^4\theta$，$y=r\sin^4\theta$，则 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=r^{1/2}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^{1/2}=1$，所以 $r=1$。$\theta$ 从0到 $\pi/2$。
提示：这种参数化适用于 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 为常数的区域。
步骤 10/11
目标：计算第四题雅可比行列式
计算 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$：
$x_r=\cos^4\theta$，$x_\theta=-4r\cos^3\theta\sin\theta$，$y_r=\sin^4\theta$，$y_\theta=4r\sin^3\theta\cos\theta$。
雅可比行列式 $J=\cos^4\theta\cdot4r\sin^3\theta\cos\theta - (-4r\cos^3\theta\sin\theta)\cdot\sin^4\theta=4r\cos^5\theta\sin^3\theta+4r\cos^3\theta\sin^5\theta=4r\cos^3\theta\sin^3\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=4r\cos^3\theta\sin^3\theta$。
公式：$J=4r\cos^3\theta\sin^3\theta$
提示：注意化简时提取公因子。
步骤 11/11
目标：变换第四题积分并计算
被积函数 $\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{r^{1/2}}=r^{1/4}$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=4r\cos^3\theta\sin^3\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
积分 $\iint_{D'} r^{1/4}\cdot4r\cos^3\theta\sin^3\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=4\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\sin^3\theta\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^{5/4}\mathrm{d}r$。
$\int_0^1 r^{5/4}\mathrm{d}r=\frac{4}{9}$，$\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\sin^3\theta\mathrm{d}\theta=\frac{1}{12}$（利用 $\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$ 或 Beta 函数）。
相乘得 $4\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{27}$。
提示：计算 $\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\sin^3\theta\mathrm{d}\theta$ 可用 $\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$ 化为 $\frac{1}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^32\theta\mathrm{d}\theta$，再换元。
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