下册 8.1 二重积分 第19题
📝 题目
19．计算下列二重积分．
（1） $\iint_{D} \operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ 。
（2） $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+\operatorname{sgn}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（3） $\iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y \pm \sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
（4） $\iint_{D}(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（5） $\iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,1] \times[0,1]$ ．
（6）设 $D=\{(x, y): 0 \leqslant x+y \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ，求函数 $f(t)=\iint_{D} \operatorname{sgn}(x+y-t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,2] \times[0,2]$ ．
此类积分解题的一般思路：利用积分域内的分段线将积分域 $D$ 划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和，求各个分段域上的二重积分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．44，记 $D_{1}: 2\sqrt{3} x^{3}, x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}, D_{2}=\left\{(x, y) \mid y<\sqrt{3} x^{3}, x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．当 $(x, y) \in D_{1}$ 时， $\operatorname{sgn}\left(y-\sqrt{3} x^{3}\right)=1$ ，当 $(x, y) \in D_{2}$ 时， $\operatorname{sgn}\left(y-\sqrt{3} x^{3}\right)=-1$ ．曲线 $y=\sqrt{3} x^{3}$ 与 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4$的交点是 $(1, \sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3})$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y-\sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{D_{1}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}}(-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-2 \iint_{D_{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =4 \pi-2\left(\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{3} x^{3}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} y\right) \\
& =4 \pi-2\left[\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{3} x^{3}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x+2 \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x\right] \\
& =4 \pi-4\left(\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)=4 \pi-4 \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x=4 \pi-4 \pi=0
\end{aligned}
$$
用同样方法可求得 $\iint_{D} \operatorname{sgn}\left(y+\sqrt{3} x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-143.jpg?height=1210&width=1133&top_left_y=1229&top_left_x=1250}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．46}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-143.jpg?height=1017&width=1016&top_left_y=1422&top_left_x=3522}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．47}
\end{figure}
（4）如图8．47所示，记 $D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant yt, \\ 0, x+y=t, \\ -1, x+y
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数符号变化，划分积分区域
被积函数为 $\operatorname{sgn}(x^2+y^2-2)$，当 $x^2+y^2>2$ 时函数值为 $1$，当 $x^2+y^2<2$ 时函数值为 $-1$，在曲线 $x^2+y^2=2$ 上值为 $0$。积分区域 $D: x^2+y^2\leqslant 4$ 被圆 $x^2+y^2=2$ 分成两部分：$D_1: 2
提示：注意符号函数在分界线上的值为0，不影响积分。
步骤 2/4
目标：将二重积分分解为两个区域上的积分之和
根据符号函数的取值，有
$$
\iint_D \operatorname{sgn}(x^2+y^2-2) \,dx\,dy = \iint_{D_1} 1 \,dx\,dy + \iint_{D_2} (-1) \,dx\,dy = \text{Area}(D_1) - \text{Area}(D_2).
$$
提示：注意符号函数在 $D_2$ 上取 $-1$，因此第二项为负面积。
步骤 3/4
目标：计算两个区域的面积
$D$ 是半径为 $2$ 的圆盘，面积 $4\pi$。$D_2$ 是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆盘，面积 $2\pi$。$D_1$ 是圆环，面积 $4\pi - 2\pi = 2\pi$。
公式：圆面积公式：$S = \pi r^2$
提示：注意半径的平方是2，半径是 $\sqrt{2}$。
步骤 4/4
目标：代入面积值得到结果
$$
\iint_D \operatorname{sgn}(x^2+y^2-2) \,dx\,dy = 2\pi - 2\pi = 0.
$$
提示：最终结果为0。
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