下册 9.2 第二型曲线积分 第37题
📝 题目
37．设 $P(x, y), Q(x, y)$ 为在光滑曲线段 $C$ 上连续的函数，求证：$\left|\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y\right| \leqslant L M$ 。其中 $L$为积分曲线 $C$ 的长度，$M=\max _{(x, y) \in C} \sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ ．并由此求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}$ ．
分析：运用柯西－施瓦茨不等式．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 Schwarz 不等式及 $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$ 可得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y\right| & =\left|\int_{L}(P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta) \mathrm{d} s\right| \leqslant \int_{L}|P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta| \mathrm{d} s \\
& \leqslant \int_{L} \sqrt{\left(P^{2}(x, y)+Q^{2}(x, y)\right)\left(\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta\right)} \mathrm{d} s \leqslant M \int_{L} \mathrm{~d} s=M C
\end{aligned}
$$
在积分 $\displaystyle I_{R}=\int_{L_{R}} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}$ 中，令 $\displaystyle P(x, y)=\frac{y}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}, Q(x, y)=\frac{-x}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}$ ，则
$$
P^{2}(x, y)+Q^{2}(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{4}} \leqslant \frac{16}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}
$$
于是 $\displaystyle \left|I_{R}\right| \leqslant \frac{4}{R^{3}} C=\frac{8 \pi}{R^{2}}$ ．所以 $\lim _{R \rightarrow+\infty} I_{R}=0$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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