下册 9.2 第二型曲线积分 第38题

\section*{解题过程：} （1）设 $\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦分别为 $\cos \alpha, \cos \beta$ 与 $\cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{x}), \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{y})$ ，则 $\oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=\oint_{L}(\cos \alpha \cos (n, x)+\cos \beta \cos (n, y)) \mathrm{d} s=\oint_{L}(\cos \alpha \cos (t, y)+\cos \beta \cos (t, x)) \mathrm{d} s$,其中 $t$ 为 $L$ 上点的切线方向． 由第一、二型曲线积分的关系有 $$ \oint_{L} \cos (I, n) \mathrm{d} s=\oint_{L} \cos \beta \mathrm{~d} x+\cos \alpha \mathrm{d} y $$ 由 $\cos \alpha, \cos \beta$ 均为常数，故 $\displaystyle \frac{\partial \cos \beta}{\partial y}=\frac{\partial \cos \alpha}{\partial x}=0$ ．由格林公式知 $\oint_{L} \cos (l, n) \mathrm{d} s=0$ ． （2）$r=(x-\xi, y-\eta), r=\sqrt{(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}}$ ． 记 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 为 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦，即 $\alpha=(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{x}), \beta=(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{y})$ ，则 $$ \cos (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})=\frac{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{r}||\boldsymbol{n}|}=\frac{(x-\xi) \cos \alpha+(y-\eta) \cos \beta}{r}, \frac{\cos (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})}{r}=\frac{(x-\xi) \cos \alpha+(y-\eta) \cos \beta}{r^{2}} . $$ 于是 $$ \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{(x-\xi) \cos \alpha+(y-\eta) \cos \beta}{r^{2}} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{(x-\xi) \mathrm{d} y-(y-\eta) \mathrm{d} x}{r^{2}} . $$ 记 $\displaystyle P=-\frac{y-\eta}{r^{2}}, Q=\frac{x-\xi}{r^{2}}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2(x-\xi)^{2}-r^{2}}{r^{4}}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{r^{2}-2(y-\eta)^{2}}{r^{4}}$ ． 情形 1：点 $A(\xi, \eta)$ 在 $L$ 所围区域 $D$ 的外部． 因 $P, Q$ 及它们的偏导数在 $L$ 所围区域 $D$ 上连续，由格林公式得 $$ \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{(x-\xi) \cos \alpha+(y-\eta) \cos \beta}{r^{2}} \mathrm{~d} s=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} \frac{2 r^{2}-2 r^{2}}{r^{4}} \mathrm{~d} \sigma=0 . $$ 情形 2：点 $A(\xi, \eta)$ 位于 $L$ 所围区域 $D$ 的内部． 作圆 $L_{1}:(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}=\rho^{2}$ ，逆时针方向，并让 $\rho>0$ 充分小使得 $L$ 及 $L_{1}^{-}$所围的区域完全含于 $D$ 内．设 $L+L_{1}^{-}$所围城的区域为 $D^{\prime}$ ．在 $L+L_{1}^{-}$上应用 Green 公式得 $$ \oint_{L+L_{1}} \frac{(x-\xi) \cos \alpha+(y-\eta) \cos \beta}{r^{2}} \mathrm{~d} s=0 . $$ 于是 $$ \oint_{L} \frac{\cos (r, n)}{r} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{(x-\xi) \mathrm{d} y-(y-\eta) \mathrm{d} x}{r^{2}}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\rho^{2} \cos ^{2} \theta+\rho^{2} \sin ^{2} \theta}{\rho^{2}} \mathrm{~d} \theta=2 \pi . $$