下册 9.2 第二型曲线积分 第39题
📝 题目
39．计算下列曲线积分．
（1）$\oint_{c}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，其中 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ 是光滑闭曲线 $C$ 外法线的方向余弦，$A$ 是曲线 $C$ 围成区域的面积．
（2）$I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=1, r=(x, y), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tau$ 是 $L$ 的单位切向量，指向反时针方向．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由第一、二型曲线积分的关系及格林公式有
$$
\oint_{C}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s=\int_{C} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=2 A \text {, 其中 } A \text { 为曲线 } C \text { 围成区域的面积. }
$$
（2）记 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 为 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦，即 $\alpha=(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{x}), \beta=(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{y})$ ，则
$$
\cos (r, n)=|r| \frac{r \cdot n}{|r||n|}=\frac{x \cos \alpha+y \cos \beta}{r}, r \cos (r, n)=x \cos \alpha+y \cos \beta .
$$
于是
$$
I=\int_{L} r \sin (r, \tau) \mathrm{d} s=\int_{L} r \cos (r, n) \mathrm{d} s=\int_{L}(x \cos \alpha+y \cos \beta) \mathrm{d} s=\int_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\iint_{D} 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \cdot \frac{1}{2} \pi=\pi
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解第一型曲线积分与方向余弦的关系
给定光滑闭曲线 $C$，其外法线方向余弦为 $(\cos \alpha, \cos \beta)$。第一型曲线积分 $\oint_C (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds$ 可以转化为第二型曲线积分。因为 $\cos \alpha \, ds = dy$，$\cos \beta \, ds = -dx$（注意外法线方向与切向的关系：若曲线参数化时切向量为 $(dx, dy)$，则外法线方向为 $(dy, -dx)$，从而 $\cos \alpha \, ds = dy$，$\cos \beta \, ds = -dx$）。
公式：$\cos \alpha \, ds = dy$，$\cos \beta \, ds = -dx$
提示：注意外法线方向与切向量的关系，符号不要弄反。
步骤 2/8
目标：将第一型曲线积分化为第二型曲线积分
代入关系式：$\oint_C (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds = \oint_C (x \, dy - y \, dx)$。
公式：$\oint_C (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds = \oint_C x \, dy - y \, dx$
提示：注意符号：$y \cos \beta \, ds = y (-dx) = -y \, dx$。
步骤 3/8
目标：应用格林公式计算面积
由格林公式，$\oint_C x \, dy - y \, dx = \iint_D \left( \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) \, dx \, dy = \iint_D (1 - (-1)) \, dx \, dy = 2 \iint_D \, dx \, dy = 2A$，其中 $A$ 是曲线 $C$ 所围区域的面积。
公式：格林公式：$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy$
提示：注意格林公式中 $P$ 和 $Q$ 的对应：这里 $P = -y$，$Q = x$。
步骤 4/8
目标：得到第一问结果
因此，$\oint_C (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds = 2A$。
提示：结果与曲线形状无关，只与面积有关。
步骤 5/8
目标：理解第二问中的几何关系
对于第二问，$L$ 是椭圆 $4x^2 + y^2 = 1$，$r = (x, y)$，$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\tau$ 是 $L$ 的单位切向量（逆时针方向）。$\sin(r, \tau)$ 表示向量 $r$ 与切向量 $\tau$ 夹角的正弦。由于 $\tau$ 与法向量 $n$ 垂直，且 $n$ 为外法线，有 $\sin(r, \tau) = \cos(r, n)$。
公式：$\sin(r, \tau) = \cos(r, n)$
提示：注意角度关系：$\tau$ 与 $n$ 垂直，所以 $r$ 与 $\tau$ 的夹角和 $r$ 与 $n$ 的夹角互余。
步骤 6/8
目标：将积分转化为第一型曲线积分形式
于是 $r \sin(r, \tau) = r \cos(r, n) = \frac{r \cdot n}{|r||n|} r = \frac{x \cos \alpha + y \cos \beta}{r} \cdot r = x \cos \alpha + y \cos \beta$，其中 $n = (\cos \alpha, \cos \beta)$ 是外法线方向余弦。因此 $I = \int_L r \sin(r, \tau) \, ds = \int_L (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds$。
公式：$r \cos(r, n) = x \cos \alpha + y \cos \beta$
提示：注意 $r \cdot n = x \cos \alpha + y \cos \beta$。
步骤 7/8
目标：化为第二型曲线积分并应用格林公式
与第一问类似，$\int_L (x \cos \alpha + y \cos \beta) \, ds = \int_L x \, dy - y \, dx$。由格林公式，$\int_L x \, dy - y \, dx = \iint_D 2 \, dx \, dy = 2 \times \text{椭圆面积}$。椭圆 $4x^2 + y^2 = 1$ 的标准形式为 $\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$，面积 $A = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$。所以 $I = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$。
公式：椭圆面积公式 $A = \pi ab$
提示：椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的面积为 $\pi a b$，注意 $a = 1/2$，$b = 1$。
步骤 8/8
目标：得出第二问结果
因此，$I = \pi$。
提示：注意积分方向为逆时针，格林公式取正号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。