下册 9.2 第二型曲线积分 第40题
📝 题目
40．证明下列结论．
（1）设函数 $u(x, y)$ 在光滑闭合曲线 $L$ 所围成的区域 $D$ 上有二阶连续偏导数，试证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s$ 。其中 $n$ 为曲线 $L$ 的外法线方向，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是函数 $u(x, y)$ 沿方向 $n$ 的方向导数．
（2）设 $u(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上具有二阶连续的偏导数，证明 $u(x, y)$ 是调和函数（即 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0$ 的充要条件是对 $\mathbf{R}^{2}$ 内的任意光滑简单闭曲线 $L$ ，总有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos (n, x)+\frac{\partial u}{\partial y} \cos (n, y), \cos (n, x) \mathrm{d} s=\mathrm{d} y, \cos (n, y) \mathrm{d} s=-\mathrm{d} x$ ，所以
$$
\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\oint_{L}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos (n, x)+\frac{\partial u}{\partial y} \cos (n, y)\right) \mathrm{d} s=\oint_{L}-\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} y
$$
（1）由格林公式有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} y-\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} x=\iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．
（2）必要性：由格林公式得 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} y-\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} x=\iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ．
充分性：如果存在点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 使得 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial y^{2}} \neq 0$ ．不妨设其大于零．由于 $u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，所以存在 $\delta>0$ ，使得在 $D=O\left(M_{0}, \delta\right)$ 上成立 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}>0$ ．于是 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y>0$ ．这与条件矛盾，所以 $u$ 是调和函数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将外法向导数转化为坐标形式
由于 $\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos(n,x) + \frac{\partial u}{\partial y} \cos(n,y)$，且对于外法线方向，有 $\cos(n,x) \mathrm{d}s = \mathrm{d}y$，$\cos(n,y) \mathrm{d}s = -\mathrm{d}x$，代入得：
$$\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = \oint_L \left( \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}x \right).$$
公式：$$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos(n,x) + \frac{\partial u}{\partial y} \cos(n,y)$$
提示：注意外法线方向与坐标轴夹角的关系，$\cos(n,x) \mathrm{d}s = \mathrm{d}y$ 和 $\cos(n,y) \mathrm{d}s = -\mathrm{d}x$ 是常见结论，需牢记符号。
步骤 2/5
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
对曲线积分 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}x$ 应用格林公式：
$$\oint_L P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y,$$
其中 $P = -\frac{\partial u}{\partial y}$，$Q = \frac{\partial u}{\partial x}$，则
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$$
所以
$$\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = \iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$$
公式：格林公式：$$\oint_L P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$
提示：注意格林公式中 $P$ 和 $Q$ 的对应关系，以及求偏导时的符号。
步骤 3/5
目标：完成第（1）问的证明
由上述推导，直接得到
$$\iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s,$$
即第（1）问得证。
提示：注意区域 $D$ 由光滑闭合曲线 $L$ 围成，且 $u$ 具有二阶连续偏导数，满足格林公式条件。
步骤 4/5
目标：证明必要性：若 $u$ 是调和函数，则对任意闭曲线 $L$ 有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = 0$
若 $u$ 是调和函数，即 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \equiv 0$，则由第（1）问结论，对任意光滑简单闭曲线 $L$ 及其围成的区域 $D$，有
$$\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = \iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = 0.$$
提示：必要性直接利用第（1）问的等式，无需额外推导。
步骤 5/5
目标：证明充分性：若对任意闭曲线 $L$ 有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = 0$，则 $u$ 是调和函数
假设存在点 $M_0(x_0, y_0)$ 使得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \neq 0$，不妨设大于0。由于 $u$ 具有二阶连续偏导数，存在 $\delta > 0$ 使得在圆盘 $D = O(M_0, \delta)$ 内 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} > 0$。取 $L$ 为 $D$ 的边界，则由第（1）问得
$$\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{d}s = \iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y > 0,$$
与条件矛盾。故假设不成立，即 $u$ 是调和函数。
提示：充分性使用反证法，注意连续函数的局部保号性，以及 $\delta$ 的存在性依赖于二阶偏导数的连续性。
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