上海理工大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2011 & 11 \\ 0 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．证明： $\displaystyle \mathrm{X}^{2}=A$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的性质
矩阵 $A$ 是严格上三角矩阵，其特征值为 $0$（三重）。计算 $A$ 的秩：$A$ 的第二列 $(2011,0,0)^T$ 和第三列 $(11,11,0)^T$ 线性无关，故 $\operatorname{rank}(A)=2$。计算 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2011\cdot 11 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$，$A^3=0$，所以 $A$ 的幂零指数为 $3$。
提示：注意 $A$ 的秩为2，且 $A^2 \neq 0$，这决定了其Jordan标准形是一个3阶Jordan块。
步骤 2/6
目标：确定A的Jordan标准形
由于 $A$ 是幂零矩阵且幂零指数为3，其Jordan标准形只能是3阶Jordan块 $J_3(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。因为 $\operatorname{rank}(J_3(0))=2$，$J_3(0)^2 \neq 0$，$J_3(0)^3=0$，与 $A$ 一致。故存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = J_3(0)$。
公式：$J_3(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：Jordan标准形的确定依赖于秩和幂零指数，注意3阶Jordan块的秩为2。
步骤 3/6
目标：假设存在解并相似变换
假设存在三阶复方阵 $X$ 满足 $X^2 = A$。令 $Y = P^{-1}XP$，则 $Y^2 = P^{-1}X^2P = P^{-1}AP = J_3(0)$。因此问题转化为是否存在 $Y$ 使得 $Y^2 = J_3(0)$。
公式：$Y^2 = J_3(0)$
提示：相似变换保持矩阵方程，注意 $Y$ 与 $X$ 相似。
步骤 4/6
目标：分析Y的幂零性
由于 $J_3(0)$ 是幂零矩阵且幂零指数为3，即 $(J_3(0))^3=0$ 但 $(J_3(0))^2 \neq 0$，所以 $Y^2$ 的幂零指数为3。设 $Y$ 的幂零指数为 $m$，则 $Y^m=0$ 且 $Y^{m-1} \neq 0$。那么 $(Y^2)^{\lceil m/2 \rceil}=0$，且 $(Y^2)^{\lceil m/2 \rceil -1} \neq 0$，故 $Y^2$ 的幂零指数为 $\lceil m/2 \rceil$。因此 $\lceil m/2 \rceil = 3$，解得 $m=5$ 或 $6$。
公式：$\lceil m/2 \rceil = 3$
提示：幂零指数的关系：若 $Y$ 的指数为 $m$，则 $Y^2$ 的指数为 $\lceil m/2 \rceil$。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
但 $Y$ 是3阶矩阵，其幂零指数最大为3（因为幂零矩阵的指数不超过其阶数）。而 $m=5$ 或 $6$ 均大于3，矛盾。因此不存在这样的 $Y$，从而不存在 $X$。
提示：注意幂零矩阵的指数不超过矩阵的阶数，这是关键矛盾点。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，方程 $X^2 = A$ 无解。
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