北京工业大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵．
（1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ．
（2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用条件推导秩不等式
由 $A^2 = A$ 得 $A(A - E_n) = 0$。根据矩阵乘积的秩不等式，有 $r(A) + r(A - E_n) \leq n$。
公式：若 $AB=0$，则 $r(A)+r(B)\leq n$
提示：注意 $A$ 和 $A-E_n$ 都是 $n\times n$ 矩阵，乘积为零矩阵时秩和不大于 $n$。
步骤 2/7
目标：利用单位矩阵分解得到秩下界
由于 $A + (E_n - A) = E_n$，根据矩阵和的秩不等式，有 $r(A) + r(E_n - A) \geq r(E_n) = n$。
公式：若 $A+B=C$，则 $r(A)+r(B)\geq r(C)$
提示：注意 $E_n - A = -(A - E_n)$，秩相等，因此 $r(A - E_n) = r(E_n - A)$。
步骤 3/7
目标：结合上下界证明等式
由前两步得 $r(A) + r(A - E_n) \leq n$ 且 $r(A) + r(A - E_n) \geq n$，故 $r(A) + r(A - E_n) = n$。
提示：注意秩是整数，因此等式成立。
步骤 4/7
目标：构造逆矩阵的候选形式
由于 $E_n + C^T B$ 可逆，考虑矩阵 $X = E_m - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T$，验证 $(E_m + B C^T) X = E_m$。
提示：这种构造类似于 Woodbury 矩阵恒等式。
步骤 5/7
目标：计算乘积并化简
计算 $(E_m + B C^T)(E_m - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T) = E_m + B C^T - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T - B C^T B (E_n + C^T B)^{-1} C^T$。
提示：展开时注意矩阵乘法顺序，不要遗漏项。
步骤 6/7
目标：利用恒等式简化中间项
注意到 $C^T B (E_n + C^T B)^{-1} = (E_n + C^T B - E_n)(E_n + C^T B)^{-1} = E_n - (E_n + C^T B)^{-1}$，因此 $B C^T B (E_n + C^T B)^{-1} C^T = B (E_n - (E_n + C^T B)^{-1}) C^T = B C^T - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T$。
公式：$C^T B (E_n + C^T B)^{-1} = E_n - (E_n + C^T B)^{-1}$
提示：注意恒等式的推导：$(E_n + C^T B)^{-1}$ 与 $C^T B$ 可交换。
步骤 7/7
目标：代入并得到单位矩阵
将上一步结果代入乘积表达式：$E_m + B C^T - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T - (B C^T - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T) = E_m$。类似可证另一侧乘积也为 $E_m$，故 $E_m + B C^T$ 可逆，且逆为 $E_m - B (E_n + C^T B)^{-1} C^T$。
提示：验证另一侧时，注意 $(E_n + C^T B)^{-1}$ 与 $C^T$ 的乘法顺序。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。