北京工业大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。
（2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解线性变换σ的定义
线性变换σ定义为σ(X)=AX，其中A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}，X是任意2×2复矩阵。基为E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}。
公式：σ(X)=AX
提示：注意A是固定的，X是变量。
步骤 2/6
目标：计算σ在每个基向量上的像
计算σ(E_{11})=A E_{11}=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+2\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}。
σ(E_{12})=A E_{12}=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+2\cdot E_{22}。
σ(E_{21})=A E_{21}=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\4&0\end{pmatrix}=2\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+4\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}。
σ(E_{22})=A E_{22}=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+2\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+4\cdot E_{22}。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序：A左乘X。
步骤 3/6
目标：构造σ在基下的矩阵
将每个像的系数按列排列，得到矩阵M：
M=\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&0&2\\2&0&4&0\\0&2&0&4\end{pmatrix}。
提示：系数排列时，第i列对应σ(E_{ij})的系数（按基的顺序）。
步骤 4/6
目标：求值域Im(σ)的维数和基
值域由σ(E_{11}),σ(E_{12}),σ(E_{21}),σ(E_{22})张成。这些矩阵为：
\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&0\\4&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}。
观察发现，第三、四个分别是第一、二个的2倍，所以极大线性无关组为前两个。因此值域维数为2，一组基为\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}。
提示：检查线性相关性：若一个向量是另一个的倍数，则线性相关。
步骤 5/6
目标：求核Ker(σ)的维数和基
核是满足AX=0的X。设X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}，则AX=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{11}+2x_{21}&x_{12}+2x_{22}\\2x_{11}+4x_{21}&2x_{12}+4x_{22}\end{pmatrix}=0。
得到方程组：x_{11}+2x_{21}=0，x_{12}+2x_{22}=0，2x_{11}+4x_{21}=0，2x_{12}+4x_{22}=0。后两个是前两个的倍数，所以独立方程只有两个：x_{11}+2x_{21}=0，x_{12}+2x_{22}=0。解为x_{11}=-2x_{21}，x_{12}=-2x_{22}，x_{21},x_{22}自由。因此核维数为2，一组基可取为：\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}。
公式：AX=0
提示：注意自由变量的个数等于核的维数。
步骤 6/6
目标：整理最终答案
（1）σ在基下的矩阵为\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&0&2\\2&0&4&0\\0&2&0&4\end{pmatrix}。
（2）值域维数为2，一组基为\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}；核维数为2，一组基为\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-2\\0&1\end{pmatrix}。
提示：检查维数：值域维数+核维数=4（定义域维数）。
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