北京科技大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵．证明：
（1）满足 $\displaystyle |A-2 \lambda B|=0$ 的所有 $\displaystyle \lambda$ 都不小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明A正定
由于$B$正定，$A-B$半正定，则对任意非零向量$\mathbf{x}$，有$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T (A-B) \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x} \geq \mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$，故$A$正定。
提示：注意半正定矩阵的定义：$\mathbf{x}^T (A-B) \mathbf{x} \geq 0$对任意$\mathbf{x}$成立。
步骤 2/5
目标：将广义特征值问题化为标准特征值问题
考虑广义特征值问题$A\mathbf{x} = \mu B\mathbf{x}$。由于$B$正定，存在可逆矩阵$P$使得$B = P^T P$。令$\mathbf{y} = P\mathbf{x}$，则$A\mathbf{x} = \mu B\mathbf{x}$化为$P^{-T} A P^{-1} \mathbf{y} = \mu \mathbf{y}$，即$C\mathbf{y} = \mu \mathbf{y}$，其中$C = P^{-T} A P^{-1}$对称正定。因此所有$\mu$为正实数。
公式：B = P^T P, C = P^{-T} A P^{-1}
提示：注意$P$是可逆的，且$C$对称正定是因为$A$正定。
步骤 3/5
目标：利用半正定性推导特征值的下界
由$A-B$半正定，对任意$\mathbf{x} \neq 0$，有$\mathbf{x}^T (A-B) \mathbf{x} \geq 0$，即$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$。取$\mathbf{x}$为广义特征向量，满足$A\mathbf{x} = \mu B\mathbf{x}$，则$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mu \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$。代入不等式得$\mu \mathbf{x}^T B \mathbf{x} \geq \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$。由于$\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$，故$\mu \geq 1$。
公式：\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq \mathbf{x}^T B \mathbf{x}
提示：注意$\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$是因为$B$正定。
步骤 4/5
目标：转换到原题中的λ
原题方程为$|A-2\lambda B|=0$，即$A\mathbf{x} = 2\lambda B\mathbf{x}$。令$\mu = 2\lambda$，则$\mu$满足$A\mathbf{x} = \mu B\mathbf{x}$。由上一结论知$\mu \geq 1$，故$\lambda \geq \frac{1}{2}$。
公式：\mu = 2\lambda
提示：注意不要混淆$\mu$和$\lambda$。
步骤 5/5
目标：证明行列式不等式
由广义特征值理论，$A$和$B$的行列式满足$|A| = \prod_{i=1}^n \mu_i |B|$，其中$\mu_i$是广义特征值（即$A\mathbf{x} = \mu B\mathbf{x}$的特征值）。由(1)知每个$\mu_i \geq 1$，因此$\prod \mu_i \geq 1$，故$|A| \geq |B|$。
公式：|A| = \prod_{i=1}^n \mu_i |B|
提示：注意广义特征值的乘积等于行列式之比，前提是$B$可逆。
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