北京科技大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 2$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，若有 $\displaystyle \xi \in V$ ，满足 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0, \sigma^{n}(\xi)=0$ ，求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明向量组线性无关
设 $\sum_{i=0}^{n-1} k_i \sigma^i(\xi)=0$，用 $\sigma^{n-1}$ 作用得 $k_0 \sigma^{n-1}(\xi)=0$，由 $\sigma^{n-1}(\xi)\neq 0$ 得 $k_0=0$；再用 $\sigma^{n-2}$ 作用得 $k_1 \sigma^{n-1}(\xi)=0$，得 $k_1=0$；依此类推，所有系数为零。因此 $\xi, \sigma(\xi), \ldots, \sigma^{n-1}(\xi)$ 线性无关。
公式：\sum_{i=0}^{n-1} k_i \sigma^i(\xi)=0
提示：注意每次作用后利用 $\sigma^{n-1}(\xi)\neq 0$ 消去系数，避免遗漏步骤。
步骤 2/5
目标：确定基的取法
由于向量组 $\xi, \sigma(\xi), \ldots, \sigma^{n-1}(\xi)$ 线性无关且共有 $n$ 个向量，构成 $V$ 的一组基。为得到目标矩阵，取基为 $\varepsilon_1 = \sigma^{n-1}(\xi), \varepsilon_2 = \sigma^{n-2}(\xi), \ldots, \varepsilon_{n-1} = \sigma(\xi), \varepsilon_n = \xi$。
提示：注意基的顺序是逆序排列，否则矩阵形式不同。
步骤 3/5
目标：计算线性变换在基下的像
计算 $\sigma$ 在每个基向量上的作用：
$\sigma(\varepsilon_1) = \sigma(\sigma^{n-1}(\xi)) = \sigma^n(\xi)=0$；
$\sigma(\varepsilon_2) = \sigma(\sigma^{n-2}(\xi)) = \sigma^{n-1}(\xi) = \varepsilon_1$；
...
$\sigma(\varepsilon_{n-1}) = \sigma(\sigma(\xi)) = \sigma^2(\xi) = \varepsilon_{n-2}$；
$\sigma(\varepsilon_n) = \sigma(\xi) = \varepsilon_{n-1}$。
公式：\sigma(\varepsilon_i) = \varepsilon_{i-1} \ (i>1), \ \sigma(\varepsilon_1)=0
提示：注意 $\sigma^n(\xi)=0$ 是关键条件，确保 $\sigma(\varepsilon_1)=0$。
步骤 4/5
目标：写出变换矩阵
由像的表达式，$\sigma$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n$ 下的矩阵为：第一列全0（因为 $\sigma(\varepsilon_1)=0$），第二列第一行为1（因为 $\sigma(\varepsilon_2)=\varepsilon_1$），第三列第二行为1，...，第n列第n-1行为1，其余为0。即
$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
$$
提示：注意矩阵的索引：第 $j$ 列对应 $\sigma(\varepsilon_j)$ 的坐标，第 $i$ 行对应 $\varepsilon_i$ 的系数。
步骤 5/5
目标：验证矩阵形式
该矩阵是一个 $n$ 阶若尔当块，特征值全为0，且幂零指数为 $n$。由于 $\sigma^n(\xi)=0$ 且 $\sigma^{n-1}(\xi)\neq0$，$\sigma$ 的幂零指数恰为 $n$，与矩阵一致。
提示：注意若尔当块的定义：次对角线为1，其余为0。
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